如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，以AD为一边向右作等边三角形ADE，DE与AC交于点F．（1）试判断DF与EF的数量关系，并给出理由．（2）若CF

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如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，以AD为一边向右作等边三角形ADE，DE与AC交于点F．
（1）试判断DF与EF的数量关系，并给出理由．
（2）若CF的长为2cm，试求等边三角形ABC的边长．

答案

（1）DF=EF．
理由：∵△ABC和△ADE均是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，
∵AD⊥BC，
∴BD=DC，∠BAD=∠DAC=

×60°=30°，
∴∠CAE=60°-30°=30°，
即∠DAC=∠CAE，
∴AC垂直平分DE，
∴DF=EF；

（2）在Rt△DFC中，∵∠FCD=60°，∠CFD=90°，
∴∠CDF=90°-60°=30°，
∵CF=2cm，
∴DC=4cm，
∴BC=2DC=2×4=8cm，
即等边三角形ABC的边长为8cm．

举一反三

如图1，△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD=CD，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．
（1）探究BM、MN、NC之间的关系，并说明理由；
（2）若△ABC的边长为2，求△AMN的周长；
（3）若点M、N分别是线段AB、CA延长线上的点，其他条件不变，此时（1）中的结论是否还成立，在图2中画出图形，并说明理由．