已知如图1,点P是正方形ABCD的BC边上一动点,AP交对角线BD于点E,过点B作BQ⊥AP于G点,交对角线AC于F,交边CD于Q点.(1)小聪在研究图形时发现
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已知如图1,点P是正方形ABCD的BC边上一动点,AP交对角线BD于点E,过点B作BQ⊥AP于G点,交对角线AC于F,交边CD于Q点. (1)小聪在研究图形时发现图中除等腰直角三角形外,还有几对三角形全等.请你写出其中三对全等三角形,并选择其中一对全等三角形证明; (2)小明在研究过程中连接PE,提出猜想:在点P运动过程中,是否存在∠APB=∠CPF?若存在,点P应满足何条件并说明理由;若不存在,为什么?
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答案
(1)△ABP≌△BCQ,△ABE≌△BCF,△AOE≌△BOF,△BEP≌△CFQ,△ACP≌△BDQ;(从中任写出三对全等三角形) 如证明△ABP≌△BCQ, ∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=BC,∠ABC=∠BCQ=90°, ∵BQ⊥AP, ∴∠BAP=∠CBQ, ∴△ABP≌△BCQ;
(2)当点P为BC的中点,∠AFB=∠CFP. ∵BP=CP,BP=CQ, ∴CP=CQ, ∵AC是正方形ABCD的对角线, ∴∠ACB=∠ACD=45°, ∵CF=CF, ∴△CFP≌△CFQ, ∴∠CPF=∠CQF, ∵∠CQF=∠APB, ∴∠APB=∠CPF. |
举一反三
如图,AB=AC,BE=CE,则图中全等的三角形有( )对. |
如图,△ABC内接于⊙O,且AB=AC,直径AD交BC于点E,F是OE的中点. (1)如果BD∥CF,求证:AE=5DE; (2)在(1)的条件下,若BC=2,求线段CD的长度. |
如图,已知⊙O. (1)用尺规作正六边形,使得⊙O是这个正六边形的外接圆,并保留作图痕迹; (2)用两种不同的方法把所作的正六边形分割成六个全等的三角形. |
如图:O是平行四边形对角线的交点,则图中全等的三角形为( ) |
如图所示,已知F是以O为圆心,BC为直径的半圆上任一点,A是弧BF的中点,AD⊥BC于点D,求证:AD=BF. |
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