如图1,已知正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AC上一点,连结EB,过点A作AM⊥BE,垂足为M,AM交BD于点F。(1)求证:OE=OF;(2)
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如图1,已知正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AC上一点,连结EB,过点A作AM⊥BE,垂足为M,AM交BD于点F。 |
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(1)求证:OE=OF; (2)如图2,若点E在AC的延长线上,AM⊥BE于点M,交DB的延长线于点F,其它条件不变,则结论“OE=OF”还成立吗?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由。 |
答案
解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形 ∴∠BOE=∠AOF=90°, OB=OA, 又∵AM⊥BE, ∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE, ∴∠MEA=∠AFO, ∴Rt△BOE≌Rt△AOF, ∴OE=OF; (2)OE=OF成立; 证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴∠BOE=∠AOF=90°,OB=OA, 又∵AM⊥BE, ∴∠F+∠MBF=90°=∠B+∠OBE, 又∵∠MBF=∠OBE, ∴∠F=∠E, ∴Rt△BOE≌Rt△AOF, ∴OE=OF。 |
举一反三
已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG。 (1)求证:EG=CG; (2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG,问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由; (3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明) |
图① 图② 图③ |
如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连结BF,CF与AB交于G点。 |
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(1) 求证:BD=CD; (2) 如果AB=AC,试判断四边形AFBD的形状,并证明你的结论; (3)如果四边形AFBD的面积为24,求△AGE的面积。 |
如图(图1、图2),四边形ABCD是边长为4的正方形,点E在线段BC上,∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分线CP于点F,FN⊥BC,交BC的延长线于点N。 (1)若点E是BC的中点(如图1),AE与EF相等吗?为什么? (2)点E在BC间运动时(如图2),设BE=x,△ECF的面积为y。 ①求y与x的函数关系式; ②当x取何值时,y有最大值,并求出这个最大值。 |
图1 图2 |
如图所示,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点且∠AEF=90°,EF交正方形外角平分线CF于点F,取边AB的中点G,连接EG。 (1)求证:EG=CF; (2)将△ECF绕点E逆时针旋转90°,请在图中直接画出旋转后的图形,并指出旋转后CF与EG的位置关系。 |
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如图,点M在正方形ABCD的对角线BD上,求证:AM=CM。 |
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