如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，P是BC上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F。求证：PE+PF=BD

题型：广东省期末题难度：来源：

如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，P是BC上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F。
求证：PE+PF=BD

答案

证明：过P作PG⊥BD于G，
∵∠1=∠2=∠3=90°，
∴四边形PGDF是矩形，
∴PF=GD ① 
∵∠1+∠3=180°
∴PG//AC
∴∠BPG=∠C
又∵AB=AC
∴∠ABC=∠C
∴∠BPG=∠ABC
再 ∵∠4=∠5=90°，BP=PB
∴△BPE≌△PBG（AAS）
∴PE=BG ②
①+ ②：PE+PF=BG+GD，
即 PE+PF=BD。