如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,点E是DC的中点,过点E作DC的垂线交AB于点P,交CB的延长线于点M.点F在线段ME上,且满足CF=
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如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,点E是DC的中点,过点E作DC的垂线交AB于点P,交CB的延长线于点M.点F在线段ME上,且满足CF=
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如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,点E是DC的中点,过点E作DC的垂线交AB于点P,交CB的延长线于点M.点F在线段ME上,且满足CF=AD,MF=MA.
(1)若∠MFC=120°,求证:AM=2MB;
(2)求证:∠MPB=90°-
∠FCM.
答案
(1) 连结MD,
E是DC的中点,且ME⊥DC
EM是CD的垂直平分线
MD=MC
△AMD和△FMC中
AM=FM
MD=MC
AD=FC
△AMD
△FMC (SSS)
MAD=
MFC=125
又
AD∥BC 且∠ABC=90
BAD=90
MAB=35
MB=
AM
即MB=
MF
MF=2MB
(2)
MD="MC" 且ME⊥DC
ME平分
DMC
FMC=
DMC
又
AD∥MC
DMC=
ADM
又
△AMD
△FMC
ADM=
FCM
DMC=
FCM
FMC=
FCM
Rt△BPM中
MPB=90-
FMC
=90-
FCM
解析
(1)连接MD,由于点E是DC的中点,ME⊥DC,所以MD=MC,然后利用已知条件证明△AMD≌△FMC,根据全等三角形的性质可以推出∴∠MAD=∠MFC=120°,接着得到∠MAB=30°,再根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半即可证明AM=2BM;
(2)利用(1)的结论得到∠ADM=∠FCM,又AD∥BC,所以∠ADM=∠CMD,由此得到∠CMD=∠FCM,再利用等腰三角形的性质即可得到∠CME=
∠FCM,再根据已知条件即可解决问题.
举一反三
工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行:
(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图①),使AB=CD,EF=GH;
(2)摆放成如图②的四边形,则这时窗框的形状是______形,根据的数学原理是:_______________________;
(3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③),调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④),说明窗框合格,这时窗框是_______形,根据的数学原理是:_____________________.
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。
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A. 2 B.4 C.
D.
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如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC, E为AB边上一点,∠BCE=
15°,AE=AD.连接DE、AC交于F,连接BF.则有下列3个结论:①
②△ACD≌△ACE; ③ △CDE为等边三角形,其中正确的结论是 ( )
A.①② B.①③ C.③ D.①②③
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