如图,O为正方形ABCD的对角线BD的中点,BE平分∠DBC,交DC于点E,延长BC到点F,使CF=CE,交BE的延长线于点G,连接OG,(1)求证:△BCE≌

如图,O为正方形ABCD的对角线BD的中点,BE平分∠DBC,交DC于点E,延长BC到点F,使CF=CE,交BE的延长线于点G,连接OG,(1)求证:△BCE≌

题型:不详难度:来源:
如图,O为正方形ABCD的对角线BD的中点,BE平分∠DBC,交DC于点E,延长BC到点F,使CF=CE
魔方格
,交BE的延长线于点G,连接OG,
(1)求证:△BCE≌△DCF;
(2)证明:OG=OB;
(3)在图中找出一对相似三角形,并证明(不添辅助线)
答案

魔方格
(1)证明:在△BCE和△DCF中,





BC=DC
∠BCE=∠DCF=90°
CE=CF

∴△BCE≌△DCF(SAS);

(2)证明:∵BE平分∠DBC,OD是正方形ABCD的对角线,
∴∠EBC=
1
2
∠DBC=22.5°,
由(1)知△BCE≌△DCF,
∴∠EBC=∠FDC=22.5°(全等三角形的对应角相等);
∴∠BGD=90°(三角形内角和定理),
∴∠BGF=90°;
在△DBG和△FBG中,





∠DBG=∠FBG
BG=BG
∠BGD=BGF

∴△DBG≌△FBG(ASA),
∴BD=BF,DG=FG(全等三角形的对应边相等),
∴点G是DF的中点;
又∵O为正方形ABCD的对角线BD的中点,
∴OG是△DBF的中位线,
∴OG=
1
2
BF=
1
2
BD;
∵OB=
1
2
BD,
∴OB=OG;

(3)△BGF△DCF.理由如下:
在Rt△BGF和Rt△DCF中,





∠GBF=∠CDF=22.5°
∠F=∠F

∴Rt△BGFRt△DCF.
举一反三
如图,已知四边形ABCD是正方形,E是正方形内一点,以BC为斜边作直角三角形BCE,又以BE为直角边作等腰直角三角形EBF,且∠EBF=90°,连接AF.
(1)求证:AF=CE;
(2)求证:AFEB;
(3)若AB=5


3
BF
CE
=


6
3
,求点E到BC的距离.魔方格
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如图,在正方形ABCD中,E为CD上一点,延长BC到F,使CF=CE,连接DF,BE的延长线与DF相交于G,则下列结论错误的是(  )
A.BE=DFB.BG⊥DF
C.∠F+∠CEB=90°D.∠FDC+∠ABG=90°
魔方格
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已知,如图,四边形ABCD是正方形,BE=AC,则∠BED=______度.魔方格
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如图,将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上使它的直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q,当点Q在边CD上时,线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?试证明你观察得到的结论.魔方格
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如图,正方形的周长为8cm,则矩形EFBG的周长为______.魔方格
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