正方形ABCD中,对角线AC、BD交于O,Q为CD上任意一点,AQ交BD于M,过M作MN⊥AM交BC于N,连AN、QN.下列结论:①MA=MN;②∠AQD=∠A

正方形ABCD中,对角线AC、BD交于O,Q为CD上任意一点,AQ交BD于M,过M作MN⊥AM交BC于N,连AN、QN.下列结论:①MA=MN;②∠AQD=∠A

题型:不详难度:来源:
正方形ABCD中,对角线AC、BD交于O,Q为CD上任意一点,AQ交BD于M,过M作MN⊥AM交BC于N,连AN、QN.下列结论:
①MA=MN;②∠AQD=∠AQN;③S△AQN=
1
2
S五边形ABNQD;④QN是以A为圆心,以AB为半径的圆的切线.
其中正确的结论有(  )
A.①②③④B.只有①③④C.只有②③④D.只有①②
魔方格
答案

魔方格

延长CD到F,使DF=BN,连接AF,过A作AH⊥NQ于H,
∵正方形ABCD,NM⊥AQ,
∴∠AMN=∠ABC=90°,
∴A B N M四点共圆,
∴∠NAM=∠DBC=45°,∠ANM=∠ABD=45°,
∴∠ANM=∠NAM=45°,
∴MA=MN,∴①正确;
∵正方形ABCD,
∴∠ABN=∠ADF=90°,AD=AB,
在△ABN和△ADF中





AD=AB
∠ABN=∠ADF
BN=DF

∴△ABN≌△ADF,
∴∠FAD=∠BAN,AF=AN,
∵∠NAM=∠BAC=45°,
∴∠FAQ=∠FAD+∠DAQ=45°=∠NAQ,
在△NAQ和△FAQ中





AF=BN
∠FAQ=∠NAQ
AQ=AQ

∴△NAQ≌△FAQ,
∴∠AQN=∠AQD,∴②正确;
在△ADQ和△AHQ中





∠AQD=∠AQN
∠ADQ=∠AHQ=90°
AQ=AQ

∴△ADQ≌△AHQ,
∴S△ADQ=S△AQH
∴S△NAQ=S△FAQ=S△FAD+S△ADQ=
1
2
S五边形ABNQD
∴③正确;
∵AH=AD=AB,AH⊥NQ,
∴QN是以A为圆心,以AB为半径的圆的切线,
∴④正确.
故选A.
举一反三
如图,一块边长为10cm的正方形木板ABCD,在水平桌面上绕点D按顺时针方向旋转到A′B′C′D′的位置时,顶点B从开始到结束所经过的路径长为(  )
A.20cmB.20


2
cm
C.10πcmD.5


2
πcm
魔方格
题型:枣庄难度:| 查看答案
如图,在正方ABCD中,E是AB边上任一点,BG⊥CE,垂足为O,交AC于点F,交AD于点G.
(1)证明:BE=AG;
(2)E位于什么位置时,∠AEF=∠CEB?说明理由.魔方格
题型:不详难度:| 查看答案
在同一平面内,如果两个多边形(含内部)有除边界以外的公共点,则称两多边形有“公共部分”.如图,若正方形ABCD由9个边长为1的小正方形镶嵌而成,另有一个边长为1的正方形与这9个小正方形中的n个有“公共部分”,则n的最大值为(  )
A.4B.5C.6D.7
魔方格
题型:资阳难度:| 查看答案
如图,E是正方形ABCD一边CD的中点,动点P在对角线AC上移动,若AB=2,则△PED的周长的最小值为______.魔方格
题型:不详难度:| 查看答案
如图所示,E是正方形ABCD边BC上任意一点,EF⊥BO于F,EG⊥CO于G,若AB=10厘米,则四边形EGOF的周长是______厘米.魔方格
题型:不详难度:| 查看答案
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