(1)过C作CH⊥AB于H. 在直角梯形ABCD中,DC∥AB,∠ADC=90°, ∴四边形ADCH为矩形. ∴CH=AD=2,BH=AB-CD=3a-2a=a. 在Rt△BCH中,tanB==. ∵四边形AEFG是矩形,∴∠FGA=90°=∠FGB,且FG=x. ∴在Rt△FGB中,tanB==. ∴=,即BG=x,∴AG=3a-0.5ax. ∵S矩形AEFG=FG×AG, ∴y=x(3a-x)=-x2+3ax(0<x≤2).…(4分)
(2)∵S梯形ABCD=(AB+CD)×AD=(3a+2a)×2=5a, 令2(-x2+3ax)=5a,解得x1=1,x2=5. ∵0<x≤2,∴x=5(舍去). ∴x=1,此时F为BC中点. ∴BF=BC==.…(3分)
(3)矩形AEFG不能成为正方形. 假设矩形AEFG能成为正方形,则有FG=AG. ∴x=3a-x. ∵∠ABC=60°,则tanB==,∴a=. ∴x==3-3>2. 又∵0<x≤2,∴矩形BEFG不能成为正方形.…(3分)
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