如图，⊙O1和⊙O2外切于点C，⊙O1和⊙O2的连心线与外公切线相交于点P，外公切线与两圆的切点分别为A、B，且AC=4，BC=5。（1）求线段AB的长； 　　

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如图，⊙O₁和⊙O₂外切于点C，⊙O₁和⊙O₂的连心线与外公切线相交于点P，外公切线与两圆的切点分别为A、B，且AC=4，BC=5。
（1）求线段AB的长； 　　
（2）证明：PC²=PA·PB。

答案

解：（1）由已知条件可得：∠AO₁O₂+∠BO₂O₁=180°，　　
又∠CAB+∠CBA=（∠AO₁O₂+∠BO₂O₁）=90° 　　
∴∠ACB=90°，AB=。
（2）由已知条件及（1）可知，∠ACO₁与∠ABC都是∠BCO₂（∠BCO₂=∠CBO₂）的余角，
在△PAC与△PCB中，∠P=∠P、∠PCA=∠PBC 　　
∴△PCA∽△PBC，
∴=，　　
即PC²=PA·PB。