如图①,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,边长为5的正三角形OAB的OA边在x轴的正半轴上.点C、D同时从点O出发,点C以1单位长/秒的速度向点A运动,点D为2

如图①,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,边长为5的正三角形OAB的OA边在x轴的正半轴上.点C、D同时从点O出发,点C以1单位长/秒的速度向点A运动,点D为2

题型:不详难度:来源:
如图①,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,边长为5的正三角形OAB的OA边在x轴的正半轴上.点C、D同时从点O出发,点C以1单位长/秒的速度向点A运动,点D为2个单位长/秒的速度沿折线OBA运动.设运动时间为t秒,0<t<5.
(1)当0<t<
5
2
时,证明DC⊥OA;
(2)若△OCD的面积为S,求S与t的函数关系式;
(3)以点C为中心,将CD所在的直线顺时针旋转60°交AB边于点E,若以O、C、D、E为顶点的四边形是梯形,求点E的坐标.
答案
(1)作BG⊥OA于G.
在Rt△OBG中,
OG
OB
=cos∠BOA=cos60°=
1
2

OC
OD
=
1
2

OC
OD
=
OG
OB

又∵∠DOC=∠BOG,
∴△DOC△BOG,
∴∠DCO=∠BGO=90°.
即DC⊥OA.

(2)当0<t<
5
2
时,
在Rt△OCD中,
CD=OD×sin60°=2t×


3
2
=


3
t

∴S=
1
2
×OC×CD=
1
2
×t×


3
t
=


3
2
t2

5
2
≤t<5时(如图2)
过点D作DH⊥OA于H.
在Rt△AHD中,
HD=AD×sin60°=(10-2t)×


3
2
=


3
(5-t).
S=
1
2
×OC×HD=
1
2
×t×


3
(5-t)=
5


3
2
t-


3
2
t2

(3)当DEOC时,△DBE是等边三角形.(如图3)
BE=BD=5-2t.
在△CAE中,∠ECA=90°-∠DCE=30°,∠BAO=60°,
∴∠CEA=90°.
而AC=5-t,∴AE=
1
2
AC=
5-t
2

∴BE+AE=(5-2t)+
5-t
2
=5,
∴t=1.
因此AE=
5-t
2
=2.
过点E作EM⊥OA于M.
则EM=AE×sin60°=2×


3
2
=


3

AM=AE×cos60°=2×
1
2
=1,OM=OA-AM=4.
∴点E的坐标为(4,


3
).
当CDOE时(如图4),BD=2t-5.
∠OEA=90°,∴CD⊥AB.
而△OAB是等边三角形,
∴DE=BD-
1
2
AB=
5
2

∴2t-5=
5
2

∴t=
15
4

因此AE=
5-t
2
=
5
8

∴E的纵坐标为
5
8
×


3
2
=
5
16


3

横坐标为5-
5
8
×
1
2
=
75
16

∴点E的坐标为(
75
16
5
16


3
).
综上所述,点E的坐标为(4,


3
)或(
75
16
5
16


3
).
举一反三
如图是黄金海岸的沙丘滑沙场景.已知滑沙斜坡AC的坡度是tanα=
3
4
,在与滑沙坡底C距离20米的D处,测得坡顶A的仰角为26.6°,且点D、C、B在同一直线上,求滑坡的高AB(结果取整数:参考数据:sin26.6°=0.45,cos26.6°=0.89,tan26.6°=0.50).
题型:不详难度:| 查看答案
在△ABC中,∠C=90°,cosB=


3
2
,a=2


3
,则b=______.
题型:不详难度:| 查看答案
为了测量一棵大树的高度,准备了如下测量工具:①镜子;②皮尺;③长为2米的标杆;④高为1.5米的测量仪(能测量仰角和俯角的仪器),请根据你所设计的测量方案,回答下列问题:
(1)在你设计的方案中,选用的测量工具是(用工具序号填写);
(2)在图示中画出你的测量方案示意图,并结合示意图简单阐述你的方案;
(3)你需要测量示意图中哪些线段或角,并用a、b、c、α等字母表示测得的数据______;
(4)根据(3)中测量所得的数据,写出求树高的算式:AB=______米.
题型:不详难度:| 查看答案
若等腰三角形ABC的顶角A=120°,AB=5,则BC=______.
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如图,在Rt△ABC中,CD为斜边上的高,若直角边BC=8,AC=6,求cos∠ACD.
题型:不详难度:| 查看答案
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