如图,AB是⊙O的直径,弦BC=2cm,∠ABC=60º.(1)求⊙O的直径;(2)若D是AB延长线上一点,连结CD,当BD长为多少时,CD与⊙O相切;(3)若
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如图,AB是⊙O的直径,弦BC=2cm,∠ABC=60º.
(1)求⊙O的直径;(2)若D是AB延长线上一点,连结CD,当BD长为多少时,CD与⊙O相切; (3)若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动,同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动,设运动时间为,连结EF,当为何值时,△BEF为直角三角形. |
答案
(1)4(2) |
解析
(1)∵AB是⊙O的直径(已知)∴∠ACB=90º(直径所对的圆周角是直角) ∵∠ABC=60º(已知) ∴∠BAC=180º-∠ACB-∠ABC= 30º(三角形的内角和等于180º) ∴AB=2BC=4cm(直角三角形中,30º锐角所对的直角边等于斜边的一半)即⊙O的直径为4cm. (2)如图10(1)CD切⊙O于点C,连结OC,则OC=OB=1/2·AB=2cm. ∴CD⊥CO(圆的切线垂直于经过切点的半径)∴∠OCD=90º(垂直的定义) ∵∠BAC= 30º(已求) ∴∠COD=2∠BAC= 60º(在同圆或等圆中一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半) ∴∠D=180º-∠COD-∠OCD= 30º(三角形的内角和等于180º) ∴OD=2OC=4cm(直角三角形中,30º锐角所对的直角边等于斜边的一半) ∴BD=OD-OB=4-2=2(cm) ∴当BD长为2cm,CD与⊙O相切. (3)根据题意得:BE=(4-2t)cm,BF=tcm; 如图10(2)当EF⊥BC时,△BEF为直角三角形,此时△BEF∽△BAC ∴BE:BA=BF:BC 即:(4-2t):4=t:2 解得:t=1 如图10(3)当EF⊥BA时,△BEF为直角三角形,此时△BEF∽△BCA ∴BE:BC=BF:BA 即:(4-2t):2=t:4 解得:t=1.6 ∴当t=1s或t=1.6s时,△BEF为直角三角形. (1)根据已知条件知:∠BAC=30°,已知AB的长,根据直角三角形中,30°锐角所对的直角边等于斜边的一半可得AB的长,即⊙O的直径; (2)根据切线的性质知:OC⊥CD,根据OC的长和∠COD的度数可将OD的长求出,进而可将BD的长求出; (3)应分两种情况进行讨论,当EF⊥BC时,△BEF为直角三角形,根据△BEF∽△BAC,可将时间t求出; 当EF⊥BA时,△BEF为直角三角形,根据△BEF∽△BCA,可将时间t求出. |
举一反三
如图:BD是⊙O的直径,∠CBD=30°,则∠A=的度数为( )
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如图,直线EF交⊙O于A、B两点,AC是⊙O直径,DE是⊙O的切线,且DE⊥EF,垂足为E.
(1)求证:AD平分∠CAE; (2)若DE=4cm,AE=2cm,求⊙O的半径. |
如图,为⊙的直径,,交于点,,.
(1)求证:; (2)求的长; (3)延长到,使得,连接,试判断直 线与⊙的位置关系,并说明理由. |
直径分别为8和6的两圆相切,则这两圆的圆心距等于( ▲ ) |
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