(11·十堰)如图,AB是半圆O的直径,点C为半径OB上一点,过点C作CD⊥AB交半圆O于点D,将△ACD沿AD折叠得到△AED,AE交半圆于点F,连接DF。(

(11·十堰)如图,AB是半圆O的直径,点C为半径OB上一点,过点C作CD⊥AB交半圆O于点D,将△ACD沿AD折叠得到△AED,AE交半圆于点F,连接DF。(

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(11·十堰)如图,AB是半圆O的直径,点C为半径OB上一点,过点C作CD⊥AB交半圆O于点D,将△ACD沿AD折叠得到△AED,AE交半圆于点F,连接DF。
(1)求证:DE是半圆的切线;
(2)连接OD,当OC=BC时,判断四边形ODFA的形状,并证明你的结论。
答案
证明:(1)如图,连接OD,

则OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,△AED由△ACD对折得到,所以∠CDA=∠EDA,
又CD⊥AB,∴∠CAD+∠CDA=∠ODA+∠EDA=90°,D在半圆O上,
∴DE是半圆的切线。
(2)四边形ODFA是菱形。

在Rt△OCD中,∠ODC=30°,∴∠DOC=60°,
∵∠DOC=∠OAD+∠ODA,∴∠OAD=∠ODA=∠FAD=30°。
∴OD//AF,∠FAO=60°,又∵OF=OA,∴△FAO是等边三角形,∴OA=AF,∴OD=AF,
∴四边形ODFA是平行四边形,∵OA=OD,∴四边形ODFA是菱形.
解析

举一反三
(11·十堰)如图,线段AD=5,⊙A的半径为1,C为⊙A上一动点,CD的垂直平分线分别交CD于点E,B,连接BC,AC,构成△ABC,设AB=x.
(1)求x的取值范围;
(2)若△ABC为直角三角形,则x=      ;
(3)设△ABC的面积的平方为W,求W的最大值。
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(11·孝感)如图,某航天飞机在地球表面点的正上方处,从处观测到地球上的最远点,若∠=,地球半径为R,则航天飞机距地球表面的最近距离AP,以及P、Q两点间的地面距离分别是(  )  
A.B.
C.D.

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(11·孝感)(满分10分)如图,等边△ABC内接于⊙O,P是上任一点(点P不与点A、B重合),连AP、BP,过点C作CM∥BP交的延长线于点M.
(1)填空:∠APC=______度,∠BPC=_______度;(2分)
(2)求证:△ACM≌△BCP;(4分)
(3)若PA=1,PB=2,求梯形PBCM的面积.(4分)
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(11·永州)如图,在⊙O中,直径CD垂直弦AB于点E,连接OB,CB,已知⊙O的半径为2,AB=,则∠BCD=________度.
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(11·永州)(本题满分10分)如图,AB是半圆O的直径,点C是⊙O上一点
(不与A,B重合),连接AC,BC,过点O作OD∥AC交BC于点D,在OD的延长线上
取一点E,连接EB,使∠OEB=∠ABC.
⑴ 求证:BE是⊙O的切线;
⑵ 若OA=10,BC=16,求BE的长.
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