证明:(1)∵AB为直径, ∴∠ACB=90°,即:AC⊥BC, 又OE⊥BC, ∴OE∥AC, ∴∠BAC=∠FOB, ∵BN是半圆的切线, ∴∠BCA=∠FBO=90°, ∴△ACB∽△OBF. 解:(2)由△ACB∽△OBF得,∠OFB=∠DBA,∠DAB=∠OBF=90°, ∴△ABD∽△BFO, 当△ABD与△BFO的面积相等时,△ABD≌△BFO, ∴AD=1, 又DPQ是半圆O的切线, ∴OP=1,且OP⊥DP, ∴DQ∥AB, ∴BQ=AD=1 (3)由(2)知,△ABD∽△BFO, ∴=, ∴BF=, ∵DPQ是半圆O的切线, ∴AD=DP,QB=BQ, 过Q点作AM的垂线QK,垂足为K,在直角三角形DQK中, DQ2=QK2+DK2, ∴(AD+BQ)2=(AD﹣BQ)2+22. ∴BQ=, ∴BF=2BQ, ∴Q为BF的中点. |