(1)证明:∵BC⊥AD于D, ∴∠BDA=∠CDA=90°, ∴AB、AC分别为⊙O1、⊙O2的直径, ∵∠2=∠3,∠BGD+∠2=90°,∠C+∠3=90°, ∴∠BGD=∠C;
(2)证明:∵∠DO2C=45°, ∴∠ABD=45°, ∵O2D=O2C, ∴∠C=∠O2DC=(180-∠DO2C)=67.5°, ∴∠4=22.5°, ∵∠O2DC=∠ABD+∠F, ∴∠F=∠4=22.5°, ∴AD=AF;
(3)∵BF=6CD, ∴设CD=k,则BF=6k, 连接AE,则AE⊥AD, ∴AE∥BC, ∴△FAE∽△FBD, ∴=, ∴AE•BF=BD•AF, 又∵在△AO2E和△DO2C中,AO=DO2,∠AOE=∠DOC,O2E=O2C, ∴△AO2E≌△DO2C, ∴AE=CD=k, ∴6k2=BD•AF=(BC-CD)(BF-AB), ∵∠BO2A=90°,O2A=O2C, ∴BC=AB, ∴6k2=(BC-k)(6k-BC), ∴BC2-7kBC+12k2=0, 解得:BC=3k,或BC=4k, 当BC=3k时,BD=2k, ∵BD、BF的长是关于x的方程x2-(4m+2)x+4m2+8=0的两个实数根, ∴由根与系数的关系知:BD+BF=2k+6k=8k=4m+2,BD•BF=12k2=4m2+8, ∴k=+, 把BD=2k代入方程x2-(4m+2)x+4m2+8=0可得,4m2-12m+29=0, ∵△=(-12)2-4×4×29=-320<0,此方程无实数根, ∴BC=3k舍去, 当BC=4k时,BD=3k, ∴3k+6k=4m+218k2=4m2+8, 整理,得:m2-8m+16=0,解得:m1=m2=4, ∴原方程可化为x2-18x+72=0, 解得:x1=6,x2=12, ∴BD=6,BF=12. |