(1)证明:如图1,连接DE. ∵AD是圆O的直径, ∴∠AED=90°. 又∵BC切圆O于点D, ∴AD⊥BC,∠ADB=90°. 在Rt△AED和Rt△ADB中,∠EAD=∠DAB, ∴Rt△AED∽Rt△ADB. ∴=,即AE•AB=AD2 同理连接DF,可证Rt△AFD∽Rt△ADC,AF•AC=AD2 ∴AE•AB=AF•AC.
(2)AE•AB=AF•AC仍然成立. 证明:如图2,连接DE,因为BC在上下平移时始终与AD垂直,设垂足为D",则∠AD′B=90° ∵AD是圆O的直径, ∴∠AED=90° 又∵∠D′AB=∠EAD,∠AED=∠AD′B, ∴Rt△AD′B∽Rt△AED ∴= AE•AB=AD′•AD 同理AF•AC=AD′•AD ∴AE•AB=AF•AC 同理可证,当直线BC向下平移与圆O相离如图3时,AE•AB=AF•AC仍然成立.
|