如图,矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F,AE=3(1)求EF的长;(2)若AD=3+5,直线MN分别交射线DA、DC于点M、N,∠DMN=60

如图,矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F,AE=3(1)求EF的长;(2)若AD=3+5,直线MN分别交射线DA、DC于点M、N,∠DMN=60

题型:不详难度:来源:
如图,矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F,AE=


3

(1)求
EF
的长;
(2)若AD=


3
+5
,直线MN分别交射线DA、DC于点M、N,∠DMN=60°,将直线MN沿射线DA方向平移,设点D到直线的距离为d,当时1≤d≤4,请判断直线MN与⊙O的位置关系,并说明理由.
答案
(1)连接OE、OF,
∵矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F,
∴∠A=90°,∠OEA=∠OFA=90°
∴四边形AFOE是正方形
∴∠EOF=90°,OE=AE=


3

EF
的长=
90π×


3
180
=


3
2
π.

(2)如图,将直线MN沿射线DA方向平移,当其与⊙O相切时,记为M1N1,切点为R,交AD于M1,交BC于N1
连接OM1、OR,
∵M1N1MN
∴∠DM1N1=∠DMN=60°
∴∠EM1N1=120°
∵MA、M1N1切⊙O于点E、R
∴∠EM1O=
1
2
∠EM1N1=60°
在Rt△EM1O中,EM1=
OE
tan∠EM1O
=


3
tan60°
=1
∴DM1=AD-AE-EM1=


3
+5-


3
-1=4.
过点D作DK⊥M1N1于K
在Rt△DM1K中
DK=DM1×sin∠DM1K=4×sin∠60°=2


3
即d=2


3

∴当d=2


3
时,直线MN与⊙O相切,
当1≤d<2


3
时,直线MN与⊙O相离,
当直线MN平移到过圆心O时,记为M2N2,点D到M2N2的距离d=DK+OR=2


3
+


3
=3


3
>4,
∴当2


3
<d≤4时,MN直线与⊙O相交.
举一反三
如图的⊙A和⊙B是抗日战争时期敌人要塞阵地的两个“母子碉堡”,被称为“母碉堡”A的半径是6米,“子碉堡”B的半径是3米,两个碉堡中心的距离AB=80米.我侦察兵在安全地带P的视线恰好与敌人的“母子碉堡”都相切,为了打击敌人,必须准确地计算出点P到敌人两座碉堡中心的距离PA和PB的大小,请你利用圆的知识计算出PA=______,PB=______.
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已知:如图,⊙O的直径AB与弦CD相交于E,
BC
=
BD
,⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F.
(1)求证:CDBF.
(2)连接BC,若⊙O的半径为4,cos∠BCD=
3
4
,求线段AD、CD的长.
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如图,点P是圆O的直径BC的延长线上一点,过点P作圆O的切线PA,切点为A,连接BA、OA、CA,过点A作AD⊥BC于D,请你找出图中共有______个直角(不要再添加辅助线),并用“┓”符号在图中标注出来.
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如图,P是⊙O外一点,PA是⊙O的切线,PO=26cm,PA=24cm,则⊙O的周长为(  )
A.18πcmB.16πcmC.20πcmD.24πcm

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如图,△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,以AB为直径的⊙O交AC于点E,点D是BC边的中点,连接DE.
(1)试判断直线DE与⊙O的位置关系?并说明理由;
(2)若⊙O的半径为


3
,DE=3,求AE的长.
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