在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点O在CB上,且AO平分∠BAC,CO=3(如图所示),以点O为圆心,r为半径画圆.(1)r取何值时,⊙O与

在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点O在CB上,且AO平分∠BAC,CO=3(如图所示),以点O为圆心,r为半径画圆.(1)r取何值时,⊙O与

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在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点O在CB上,且AO平分∠BAC,CO=3(如图所示),以点O为圆心,r为半径画圆.
(1)r取何值时,⊙O与AB相切;
(2)r取何值时,⊙O与AB有两个公共点;
(3)当⊙O与AB相切时,设切点为D,在BC上是否存在点P,使△APD的面积为△ABC的面积的一半?若存在,求出CP的长;若不存在,请说明理由.
答案
(1)过点D作DO⊥AB于D,
∵∠1=∠2,∠C=90°,
∴OD=OC=3,
故当r=3时,⊙O与AB相切;

(2)在Rt△AOC中,AO=


AC2+OC2
=


62+32
=3


5

而OB=BC-OC=8-3=5,
∴OA>OB
∴当3<r≤5时,⊙O与AB有两个公共点;

(3)连接OD,过点P做PH⊥AB于H;
设CP=x,则PB=8-x,
∵D为切点,
∴OD⊥AB,
∴PHOD,
PH
OD
=
PB
OB
PH
3
=
8-x
5

∴PH=
3
5
(8-x),
∵AC⊥OC,
∴AC切⊙O于C,
∴AD=AC=6;
∴S△APD=
1
2
AD•PH=
1
2
×6×
3
5
(8-x)=
72
5
-
9
5
x;
由题意:S△APD=
1
2
S△ABC
72
5
-
9
5
x=
1
2
×
1
2
×6×8

x=
4
3

故当PC=
4
3
时,存在P点,使S△APD=
1
2
S△ABC
举一反三
如图,⊙O的直径AB=4,C为圆周上一点,AC=2,过点C作⊙O的切线DC,P点为优弧
CBA
上一动点(不与A、C重合).
(1)求∠APC与∠ACD的度数;
(2)当点P移动到CB弧的中点时,求证:四边形OBPC是菱形.
(3)P点移动到什么位置时,△APC与△ABC全等,请说明理由.
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如图,⊙O的半径为


2
,A、B两点在⊙O上,切线AQ和BQ相交于Q,P是AB延长线上任一点,QS⊥OP于S,则OP•OS=______.
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已知:如图,直线PA交⊙O于A、B两点,AE是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,且AC平分∠PAE,过点C作CD⊥PA,垂足为点D.
(1)求证:CD与⊙O相切;
(2)若tan∠ACD=
1
2
,⊙O的直径为10,求AB的长.
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如图四边形ABCD内接于⊙O,AB为直径,PD切⊙O于D,与BA延长线交于P点,已知∠BCD=130°,则∠ADP=______.
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如图,C是⊙O的直径AB延长线上一点,点D在⊙O上,且∠A=30°,∠BDC=
1
2
∠ABD.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若OFAD分别交BD、CD于E、F,BD=2,求OE及CF的长.
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