如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点E在斜边AB上,以AE为直径的⊙O与BC相切于点D.(1)求证:AD平分∠BAC;(2)若AD=23,AE=4,求图中阴

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点E在斜边AB上,以AE为直径的⊙O与BC相切于点D.(1)求证:AD平分∠BAC;(2)若AD=23,AE=4,求图中阴

题型:不详难度:来源:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点E在斜边AB上,以AE为直径的⊙O与BC相切于点D.
(1)求证:AD平分∠BAC;
(2)若AD=2


3
,AE=4,求图中阴影部分的面积.
答案
(1)证明:连接OD,则OA=OD,
∴∠DAO=∠ODA.
∵BC是⊙O的切线,
∴OD⊥BC,
∵∠C=90°,
即AC⊥BC,
∴ODAC,
∴∠CAD=∠ODA,
∴∠DAO=∠CAD,
∴AD平分∠BAC;

(2)连接ED,
∵AE为直径,
∴∠ADE=∠C=90°,
∵DE2=AE2-AD2=4,
∴DE=2,
在Rt△ADE中,∵AE=4,AD=2


3

∴DE=2,
∴∠DAE=30°,∠AOD=120°,
∴S△AOD=
1
2
S△ADE=
1
2
×
1
2
AD•DE=
1
2
×
1
2
×2


3
×2=


3

∵S扇形AOD=
120π×22
360
=
4
3
π,
∴S阴影=S扇形AOD-S△AOD=
4
3
π-


3

举一反三
如图:水平地面上有一个球,现用如下方法测量球的表面积(球的表面积公式S=4πR2),用锐角∠BAC=60°的直角三角板的斜边紧靠球面,P为切点,一条直角边AC紧靠地面,并使三角板与地面垂直,如果测得PA=1m,则球的表面积等于______.
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如图,AC为⊙O直径,B为AC延长线上的一点,BD交⊙O于点D,∠BAD=∠B=30°
(1)求证:BD是⊙O的切线;
(2)请问:BC与BA有什么数量关系?写出这个关系式,并说明理由.
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如图,O是已知线段AB上一点,以OB为半径的⊙O交线段AB于点C,以线段AO为直径的半圆交⊙O于点D,过点B作AB的垂线与AD的延长线交于点E;
(1)求证:AE切⊙O于点D;
(2)若AC=2,且AC、AD的长是关于x的方程x2-kx+4


5
=0
的两根,求线段EB的长.
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如图,Rt△ABC中,∠C=90°,CD=6,以CD为直径的⊙O切AB于G,设AG2=y,AC=x.
(1)求y与x的函数关系式,并指出自变量的取值范围.
(2)利用所求出的函数关系式,求当AC为何值时,才能使得BC与⊙O的直径相等?
(3)△ACB有可能为等腰三角形吗?若可能,请求出x的值;若不可能,请说出理由.
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已知:如图,在△ABC中,AB=BC,D是AC中点,BE平分∠ABD交AC于点E,点O是AB上一点,⊙O过B、E两点,交BD于点G,交AB于点F.
(1)求证:AC与⊙O相切;
(2)当BD=6,sinC=
3
5
时,求⊙O的半径.
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