已知:如图所示,A、K为圆O上的两点,直线FN⊥MA,垂足为N,FN与圆O相切于点F,∠AOK=2∠MAK.(1)求证:MN是圆O的切线;(2)若点B为圆O上一
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已知:如图所示,A、K为圆O上的两点,直线FN⊥MA,垂足为N,FN与圆O相切于点F,∠AOK=2∠MAK.(1)求证:MN是圆O的切线;(2)若点B为圆O上一
题型:海淀区
难度:
来源:
已知:如图所示,A、K为圆O上的两点,直线FN⊥MA,垂足为N,FN与圆O相切于点F,∠AOK=2∠MAK.
(1)求证:MN是圆O的切线;
(2)若点B为圆O上一动点,BO的延长线交圆O于点C,交NF于点D,连接AC并延长交NF于点E.当
FD=2ED时,求∠AEN的余切值.
答案
(1)证明:∵OA=OK,
∴∠3=∠AKO.
∵∠2+∠3+∠AKO=180°,∠AOK=2∠MAK,
∴∠MAK+∠OAK=90°;
∴MN是圆O的切线.
(2)∵MN是圆O的切线,
∴∠1=∠B,
∴∠4=∠2.
又∵∠2=∠3,
∴∠4=∠3,
∴DC=DE.
∵NF切圆O于F,
∴∠OFN=90°,
又∵∠NAO=90°,
∴四边形AOFN是矩形.
∵OA=OF,
∴矩形AOFN是正方形,
∴AN=NF=OF.
∵NF切圆O于F,
∴FD
2
=DC?DB.
∵FD=2ED,
设ED=x,则CD=ED=x,
∴(2x)
2
=x(x+2r),
解得x=
2
3
r.
在△AEN中,∠ANE=90°,
cot∠AEN=
NE
AN
=
NF+FE
AN
=
3r
r
,
cot∠AEN=
NE
AN
=
NE+FE
AN
=
3r
r
=3,
同理:x=
2
3
r.
在△AEN中,∠ANE=90°.
cot∠AEN=
NE
AN
=
NE+FE
AN
=
1
3
r
r
=
1
3
,
∴∠AEN的余切值为3或
1
3
.
举一反三
如图,PA和PB分别与⊙O相切于A、B两点,作直径AC,并延长交PB于点D,连接OP,CB.
(1)求证:OP
∥
CB;
(2)若PA=12,DB:DC=2:1,求⊙O的半径.
题型:广东
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圆O与直线L在同一平面上.若圆O半径为3公分,且其圆心到直线L的距离为2分,则圆O和直线L的位置关系为( )
A.不相交
B.相交于一点
C.相交于两点
D.无法判别
题型:台湾
难度:
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在平面直角坐标系中,过点A(4,0),B(0,3)的直线与以坐标原点O为圆心、3为半径的⊙O的位置关系是( )
A.相交
B.相切
C.相离
D.不能确定
题型:不详
难度:
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如图,△ABC中,∠C=90°,以C为圆心的⊙C与AB相切于点D,若AD=2,BD=4,则⊙C的半径为______.
题型:不详
难度:
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已知△ABC面积为18cm
2
,BC=12cm,以A为圆心,BC边上的高为半径的圆与BC( )
A.相离
B.相切
C.相交
D.位置关系无法确定
题型:不详
难度:
|
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