观察下列式子：11(12-13)=1223；12(13-14)=1338；13(14-15)=14415…则第n个式子是______．

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观察下列式子：11(12-13)=1223；12(13-14)=1338；13(14-15)=14415…则第n个式子是______．

题型：不详难度：来源：
观察下列式子：


1
1
(
1
2
-
1
3
)
=
1
2


2
3
；


1
2
(
1
3
-
1
4
)
=
1
3


3
8
；


1
3
(
1
4
-
1
5
)
=
1
4


4
15
…
则第n个式子是______．
答案
第n个式子是


1
n
(
1
n+1
-
1
n+2
)
=
1
n+1


n+1
(n+1)2-1
．
举一反三
小明玩一种挪动珠子的游戏，每次挪动珠子的颗数与对应所得的分数如下表：
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挪动珠子数（颗） 23 4  5 6…
 对应所得分数 2 6 1220  30…
观察下列各式：1×3=22-1，2×4=32-1，3×5=42-1，…请你用一个公式表示出这些等式反映的规律：______．
已知


2
2
3
=
2
2
3

，


3
3
8
=
3
3
8

，


4
4
15
=4


4
15
，…请你用含n的式子将其中蕴涵的规律表示出来：______．
观察下列等式
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，将以上三个等式两边分别相加得：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
=1-
1
4
=
3
4
．
（1）猜想并写出：
1
n(n+1)
=  ______
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2011×2012
=______
②
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
n×(n+1)
=______
（3）探究并计算：
1
2×4
+
1
4×6
+
1
6×8
+…+
1
2010×2012
．
观察下列各式的规律：①2


2
3
=


2+
2
3
；②3


3
8
=


3+
3
8
；③4


4
15
=


4+
4
15
；…则第⑩等到式为______．