如图,已知点M,N,P,Q分别是凸四边形ABCD四边的中点,在下列4个命题中:①四边形MNPQ是梯形;②当四边形ABCD的对角线相等时,四边形MNPQ是菱形;③

如图,已知点M,N,P,Q分别是凸四边形ABCD四边的中点,在下列4个命题中:①四边形MNPQ是梯形;②当四边形ABCD的对角线相等时,四边形MNPQ是菱形;③

题型:不详难度:来源:
如图,已知点M,N,P,Q分别是凸四边形ABCD四边的中点,在下列4个命题中:
①四边形MNPQ是梯形;
②当四边形ABCD的对角线相等时,四边形MNPQ是菱形;
③当四边形ABCD的对角线垂直时,四边形MNPQ是矩形;
④当四边形ABCD的对角线相等且垂直时,四边形MNPQ是正方形.
正确的有(  )
A.1个B.2个C.3个D.4个

答案
如图,连接AC、BD,
∵点M,N,P,Q分别是凸四边形ABCD四边的中点,
∴MNAC,MN=
1
2
AC,PQAC,PQ=
1
2
AC,
∴MNPQ,MN=PQ,
∴四边形MNPQ是平行四边形,故①小题错误;
当四边形ABCD的对角线相等时,同理可得NP=MQ=
1
2
BD,
所以,MN=NP=PQ=MQ,
所以,四边形MNPQ是菱形,故②小题正确;
当四边形ABCD的对角线垂直时,可以证明∠M=90°,
所以,四边形MNPQ是矩形,故③小题正确;
当四边形ABCD的对角线相等且垂直时,四边形MNPQ既是菱形也是矩形,所以是正方形,故④小题正确,
综上所述,正确的是②③④共3个.
故选C.
举一反三
如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别是AB,AC的中点,F是BC延长线上的一点,且CF=
1
2
BC.
(1)求证:DE=CF;(2)求证:BE=EF.
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如图,△ABC中,AB=8cm,AC=5cm,AD平分∠BAC,且AD⊥CD,E为BC中点,则DE=(  )
A.3cmB.5cmC.2.5cmD.1.5cm

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如图,是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC,DE垂直于横梁AC,AB=8m,∠A=30°,则DE等于(  )
A.1mB.2mC.3mD.4m

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如果一个四边形的对角线相等,那么顺次连接这个四边形各边中点所得的四边形一定是(  )
A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形
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如图,△ABC中,AD为∠BAC的平分线,点F是BC的中点,BP⊥AD于D,AC=12,AB=8,求PF的长.
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