设函数f（x）的定义域为D．如果∀x∈D，∃y∈D，使f(x)+f(y)2=C（C为常数）成立，则称函数f（x）在D上的均值为C，给出下列四个函数①y=x3；②

题型：单选题难度：一般来源：广州一模

设函数f（x）的定义域为D．如果∀x∈D，∃y∈D，使

f(x)+f(y)

=C（C为常数）成立，则称函数f（x）在D上的均值为C，给出下列四个函数
①y=x³；
②y=(

)x；
③y=lnx；
④y=2sinx+1，
则满足在其定义域上均值为1的函数的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

答案

①对于函数y=x³，定义域为R，设x∈R，由

x3+y3

=1，得y³=2-x³，所以y=

3	2-x3

∈R，所以函数y=x³是定义域上均值为1的函数；
②对于y=(

)x，定义域为R，设x∈R，由

(

)x+(

=1，得(

)y=2-(

)x，当x=-2时，2-(

)-2=-2，不存在实数y的值，使(

)y=-2，所以该函数不是定义域上均值为1的函数；
③对于函数y=lnx，定义域是（0，+∞），设x∈（0，+∞），由

lnx+lny

=1，得lny=2-lnx，则
y=e^2-lnx∈R，所以该函数是定义域上均值为1的函数；
④对于函数y=2sinx+1，定义域是R，设x∈R，由

2sinx+1+2siny+1

=1，得siny=-sinx，因为-sinx∈[-1，1]，
所以存在实数y，使得siny=-sinx，所以函数y=2sinx+1是定义域上均值为1的函数．
所以满足在其定义域上均值为1的函数的个数是3．
故选C．

举一反三

函数 y=

-x2+6x-9

的定义域是（　　）

A．{x|x∈R}

B．{x|x∈∅}

C．{x|x≠3}

D．{x|x=3}

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已知定理：“若a，b为常数，g（x）满足g（a+x）+g（a-x）=2b，则函数y=g（x）的图象关于点（a，b）中心对称”．设函数f(x)=

x+1-a

a-x

，定义域为A．
（1）试证明y=f（x）的图象关于点（a，-1）成中心对称；
（2）当x∈[a-2，a-1]时，求证：f(x)∈[-

， 0]；
（3）对于给定的x₁∈A，设计构造过程：x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n+1=f（x_n）．如果x_i∈A（i=2，3，4…），构造过程将继续下去；如果x_i∉A，构造过程将停止．若对任意x₁∈A，构造过程都可以无限进行下去，求a的值．

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附加题：
连续函数f（x）满足：对于任何x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）⋅f（y）成立，且f（x）不是常数函数．
（Ⅰ）求证：对于任意x∈R，都有f（x）＞0；
（Ⅱ）求证：对于任意x∈Q，都有f（x）=[f（1）]^x；
（Ⅲ）设f（1）=a，求证：对于任意x∈R，都有f（x）=a^x．

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函数f（x）的定义域为D，若满足①f（x）在D内是单调函数，②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[-b，-a]，那么y=f（x）叫做对称函数，现有f（x）=

2-x

-k是对称函数，那么k的取值范围是______．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]内是单调的；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]时，则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．
（1）判断函数y=3-

是否存在“和谐区间”，并说明理由；
（2）如果[m，n]是函数y=

(a2+a)x-1

a2x

(a≠0)的一个“和谐区间”，求n-m的最大值；
（3）有些函数有无数个“和谐区间”，如y=x，请你再举一类（无需证明）

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