已知函数f(x)=axx-1(a≠0).(1)判断函数f(x)在(-1,1)上的单调性,并用单调性的定义加以证明;(2)若a=1,求函数f(x)在[-12,12
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已知函数f(x)=axx-1(a≠0).(1)判断函数f(x)在(-1,1)上的单调性,并用单调性的定义加以证明;(2)若a=1,求函数f(x)在[-12,12
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=
ax
x-1
(a≠0)
.
(1)判断函数f(x)在(-1,1)上的单调性,并用单调性的定义加以证明;
(2)若a=1,求函数f(x)在
[-
1
2
,
1
2
]
上的值域.
答案
(1)当a>0时,设-1<x
1
<x
2
<1
f(
x
1
)-f(
x
2
)=
a
x
1
x
1
-1
-
a
x
2
x
2
-1
=
a
x
1
(
x
2
-1)-a
x
2
(
x
1
-1)
(
x
1
-1)(
x
2
-1)
=
a(
x
2
-
x
1
)
(
x
1
-1)(
x
2
-1)
∵x
1
-1<0,x
2
-1<0,a(x
1
-x
2
)<0
∴
a(
x
2
-
x
1
)
(
x
1
-1)(
x
2
-1)
>0,得f(x
1
)>f(x
2
),函数f(x)在(-1,1)上是减函数;
同理可得,当a<0时,函数f(x)在(-1,1)上是增函数.
(2)当a=1时,由(1)得f(x)=
x
x-1
在(-1,1)上是减函数
∴函数f(x在
[-
1
2
,
1
2
]
上也是减函数,其最小值为f(
1
2
)=-1,最大值为f(-
1
2
)=
1
3
由此可得,函数f(x)在
[-
1
2
,
1
2
]
上的值域为[-1,
1
3
].
举一反三
在抛物线x
2
=y上求一点,使这点到直线2x-y=4的距离最短.
题型:解答题
难度:一般
|
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求下列函数的最值
(1)x>0时,求
y=
6
x
2
+3x
的最小值.
(2)设
x∈[
1
9
,27]
,求
y=lo
g
3
x
27
•lo
g
3
(3x)
的最大值.
(3)若0<x<1,求y=x
4
(1-x
2
)的最大值.
(4)若a>b>0,求
a+
1
b(a-b)
的最小值.
题型:解答题
难度:一般
|
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函数y=lg(2x
2
-x-1)的定义域为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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求下列函数的定义域.
(1)y=x+
1
x
2
-4
;
(2)y=
1
|x|-2
;
(3)y=
x
2
+x+1
+(x-1)
0
.
题型:解答题
难度:一般
|
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(1)已知f(x)=2x-3,x∈{0,1,2,3},求f(x)的值域.
(2)已知f(x)=3x+4的值域为{y|-2≤y≤4},求此函数的定义域.
题型:解答题
难度:一般
|
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