已知函数f(x)=xlnx,g(x)=f(x)+f(m-x),m为正的常数.(1)求函数g(x)的定义域;(2)求g(x)的单调区间,并指明单调性;(3)若a>

已知函数f(x)=xlnx,g(x)=f(x)+f(m-x),m为正的常数.(1)求函数g(x)的定义域;(2)求g(x)的单调区间,并指明单调性;(3)若a>

题型:解答题难度:一般来源:惠州一模
已知函数f(x)=xlnx,g(x)=f(x)+f(m-x),m为正的常数.
(1)求函数g(x)的定义域;
(2)求g(x)的单调区间,并指明单调性;
(3)若a>0,b>0,证明:f(a)+(a+b)ln2≥f(a+b)-f(b).
答案
(1)根据题意,f(x)的定义域为{x|x>0},
要使g(x)有意义,则





x>0
m-x>2

那么g(x)的定义域为{x|a<x<m}.
(2)g(x)=f(x)+f(m-x)=xlnx+(m-x)ln(m-x)
则g"(x)=lnx+1-ln(m-x)-1
=ln
x
m-x

由g"(x)>0,得
x
m-x
>1

解得:
m
2
<x<m

由g"(x)<0
得:0<
x
m-x
<1

解得:0<x<
m
2

∴g(x)在[
m
2
,m)
上为增函数,
(0,
m
2
}
上为减函数
(3)要证f(a)+(a+b)ln2≥f(a+b)-f(b).
只须证f(a)+f(b)≥f(a+b)-(a+b)ln2
而在(2)中,取m=a+b,
则g(x)=f(x)+f(a+b-x)
则g(x)在[
a+b
2
,a+b)上为增函数,
(0,
a+b
2
]
上为减函数.
∴g(x)的最小值为:
g(
a+b
2
)=f(
a+b
2
)+f(a+b-
a+b
2
)=2f(
a+b
2

=(a+b)ln
a+b
2

=(a+b)ln(a+b)-(a+b)ln2
那么g(a)≥g(
a+b
2

得:f(a)+f(a+b-a)≥(a+b)ln(a+b)-(a+b)ln2=f(a+b)-(a+b)ln2
即:f(a)+(a+b)ln2≥f(a+b)-f(b)
举一反三
设x∈(0,π),则函数y=
sinx
2
+
2
sinx
的最小值是(  )
A.2B.
9
4
C.
5
2
D.3
题型:单选题难度:一般| 查看答案
f(2cosx-1)=1-cos2x(x∈[
π
3
3
])
,则f(x)的值域为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
求函数y=
x2-x+2
x+1
(x≠-1)的值域.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知e是自然对数底数,若函数y=
e
ex-x+a
的定义域为R,则实数a的取值范围为(  )
A.a<-1B.a≤-1C.a>-1D.a≥-1
题型:单选题难度:简单| 查看答案
函数f(x)=


x
x+1
的最大值为(  )
A.
2
5
B.
1
2
C.


2
2
D.1
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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