已知：函数y=f（x），x∈R，满足f（1）=2，f（x+y）=f（x）*f（y），且f（x）是增函数，（1）证明：f（0）=1；（2）若f（2x）*f（x2-
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知：函数y=f（x），x∈R，满足f（1）=2，f（x+y）=f（x）*f（y），且f（x）是增函数，
（1）证明：f（0）=1；
（2）若f（2x）*f（x2-1）≥4成立，求x的取值范围． |
答案
（1）由题意可令x=y=0，代入f（x+y）=f（x）×f（y），得f（0）=f（0）*f（0），
解得f（0）=0或f（0）=1，
若f（0）=0，令x=1，y=0，则有f（1+0）=f（1）×f（0）=0，这与f（1）=2矛盾，故 f（0）=1
（2）由题意f（2x）×f（x2-1）≥4可变为f（x2-1+2x）≥4=2×2=f（1）×f（1）=f（2），
又f（x）是增函数
故有x2-1+2x≥2，整理得x2-3+2x≥0
解得x≥1或x≤-3
所以x的取值范围是x≥1或x≤-3 |
举一反三
| 已知定义在R上的函数f（x）的图象关于y轴对称，且满足f(x)=-f(x+)，f（-1）=1，f（0）=-2，则f（1）+f（2）+…+f（2015）的值为（ ） |
已知函数f(x)=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（ ）| A．（1，10） | B．（5，6） | C．（10，12） | D．（20，24） |
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设f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）=-3f（x）．当x∈[0，2]时，f（x）=2x-x2．则f（0）+f（-1）+f（-1）+…+f（-2014）=（ ）| A．-（1-31007） | B．-（1+31007） | | C．-（1-） | D．-（1+） |
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设定义域为R的函数f（x）满足：对于任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且当x＞0时，f（x）＜0恒成立．
（1）判断f（x）的奇偶性及单调性，并对f（x）的奇偶性结论给出证明；
（2）若函数f（x）在[-3，3]上总有f（x）≤6成立，试确定f（1）应满足的条件；
（3）解x的不等式f(x2)-f(x)＞f(ax)-f(a)（n是一个给定的正整数，a∈R）． |
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