已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意x、x′∈R均有f(x+x′)=f(x)+f(x′),且对任意x>0,都有f(x)<0,f(3)=-3.(1)试证明:函
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意x、x′∈R均有f(x+x′)=f(x)+f(x′),且对任意x>0,都有f(x)<0,f(3)=-3. (1)试证明:函数y=f(x)是R上的单调减函数; (2)试证明:函数y=f(x)是奇函数; (3)试求函数y=f(x)在[m,n](m、n∈Z,且mn<0)上的值域. |
答案
(1)证明:任取x1、x2∈R,且x1<x2,f(x2)=f[x1+(x2-x1)], 于是由题设条件f(x+x′)=f(x)+f(x′)可知f(x2)=f(x1)+f(x2-x1). ∵x2>x1,∴x2-x1>0.∴f(x2-x1)<0. ∴f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)<f(x1). 故函数y=f(x)是单调减函数. (2)证明:∵对任意x、x′∈R均有f(x+x′)=f(x)+f(x′), ∴若令x=x′=0,则f(0)=f(0)+f(0). ∴f(0)=0. 再令x′=-x,则可得f(0)=f(x)+f(-x). ∵f(0)=0,∴f(-x)=-f(x).故y=f(x)是奇函数. (3)由函数y=f(x)是R上的单调减函数, ∴y=f(x)在[m,n]上也为单调减函数. ∴y=f(x)在[m,n]上的最大值为f(m),最小值为f(n). ∴f(n)=f[1+(n-1)]=f(1)+f(n-1)=2f(1)+f(n-2)═nf(1). 同理,f(m)=mf(1). ∵f(3)=-3,∴f(3)=3f(1)=-3. ∴f(1)=-1.∴f(m)=-m,f(n)=-n. 因此,函数y=f(x)在[m,n]上的值域为[-n,-m]. |
举一反三
某市有小灵通与全球通两种手机,小灵通手机的月租费为25元,接听电话不收费,打出电话一次在3 min以内收费0.2元,超过3 min的部分为每分钟收费0.1元,不足1 min按1 min计算(以下同).全球通手机月租费为10元,接听与打出的费用都是每分钟0.2元.若某人打出与接听次数一样多,每次接听与打出的时间在1 min以内、1到2 min以内、2到3 min以内、3到4 min以内的次数之比为4:3:1:1.问,根据他的通话次数应该选择什么样的手机才能使费用最省?(注:m到m+1 min以内指含m min,而不含m+1 min) |
(1)设f(x)= | 2x+b x>0 | 0 x=0,试确定b的值,使f (x)存在 | 1+2x x<0 |
| | ; (2)f(x)为多项式,且=1,=5,求f(x)的表达式. |
“依法纳税是每个公民应尽的义务”.国家征收个人所得税是分段计算的,总收入不超过800元,免征个人所得税,超过800元部分需征税,设全月纳税所得额为x,x=全月总收入-800元,税率见下表:级数 | 全月纳税所得额 | 税率 | 1 | 不超过500元的部分 | 5% | 2 | 超过500元至2000元的部分 | 10% | 3 | 超过2000元至5000元的部分 | 15% | … | … | … | 9 | 超过10000元的部分 | 45% |
最新试题
热门考点
|