已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调

题型：解答题难度：简单来源：不详

已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x₁)－f(x₂)，且当x>1时，f(x)<0.
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的单调性；
(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．

答案

（1）0    （2）函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．   （3）－2

解析

解：(1)令x₁＝x₂>0，
代入得f(1)＝f(x₁)－f(x₁)＝0，
故f(1)＝0.
(2)任取x₁，x₂∈(0，＋∞)，且x₁>x₂，
则>1，由于当x>1时，f(x)<0，
所以f<0，即f(x₁)－f(x₂)<0，
因此f(x₁)<f(x₂)，
所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．
(3)∵f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数．
∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)．
由f＝f(x₁)－f(x₂)得，
f＝f(9)－f(3)，
而f(3)＝－1，∴f(9)＝－2.
∴f(x)在[2,9]上的最小值为－2.