已知函数是定义在上的奇函数,当时, (其中e是自然界对数的底,)(Ⅰ)设,求证:当时,;(Ⅱ)是否存在实数a,使得当时,的最小值是3 ?如果存在,求出实数a的值
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已知函数是定义在上的奇函数,当时, (其中e是自然界对数的底,)(Ⅰ)设,求证:当时,;(Ⅱ)是否存在实数a,使得当时,的最小值是3 ?如果存在,求出实数a的值
题型:解答题
难度:简单
来源:不详
已知函数
是定义在
上的奇函数,当
时,
(其中e是自然界对数的底,
)
(Ⅰ)设
,求证:当
时,
;
(Ⅱ)是否存在实数a,使得当
时,
的最小值是3 ?如果存在,求出实数a的值;如果不存在,请说明理由。
答案
(Ⅰ)设
,则
,所以
又因为
是定义在
上的奇函数,所以
故函数
的解析式为
…………………3分
证明:当
且
时,
,设
因为
,所以当
时,
,此时
单调递减;当
时,
,此时
单调递增,所以
又因为
,所以当
时,
,此时
单调递减,所以
所以当
时,
即
……………………6分
(Ⅱ)解:假设存在实数
,使得当
时,
有最小值是3,则
(ⅰ)当
,
时,
.
在区间
上单调递增,
,不满足最小值是3
(ⅱ)当
,
时,
,
在区间
上单调递增,
,也不满足最小值是3
(ⅲ)当
,由于
,则
,故函数
是
上的增函数.
所以
,解得
(舍去)
(ⅳ)当
时,则
当
时,
,此时函数
是减函数;
当
时,
,此时函数
是增函数.
所以
,解得
综上可知,存在实数
,使得当
时,
有最小值3
解析
(Ⅰ)
,设
,证明
,(Ⅱ)
的最小值是3,讨论a的值对函数最小值的影响。
举一反三
已知f(x)是R上的增函数,且f(x)<0,则函数g(x)=x
2
f(x)的单调情况一定是( )
A.在(-∞,0)上递增
B.在(-∞,0)上递减
C.在R上递增
D.在R上递减
题型:单选题
难度:简单
|
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命题1)若
是偶函数,其定义域是
,则
在区间
是减函数。
2)如果一个数列
的前n项和
则此数列是等比数列的充要条件是
3)曲线
过点(1,3)处的切线方程为:
。
4)已知集合
只有一个子集。则
以上四个命题中,正确命题的序号是__________
题型:填空题
难度:简单
|
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设函数
若
,则实数
的取值范围是_______.
题型:填空题
难度:简单
|
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已知函数
的图象经过点
,则函数
的图象必经过点
.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
若函数
在
处有极值,则函数
的图象在
处的切线的斜率为( )
A.一5
B.—8
C.—10
D.-12
题型:单选题
难度:简单
|
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