函数f(x)对任意的实数m、n有f(m+n)=f(m)+f(n),且当x＞0时有f(x)＞0.（1）求证：f(x)在（-∞,+∞)上为增函数；（2）若f(1)=

题型：解答题难度：简单来源：不详

函数f(x)对任意的实数m、n有f(m+n)=f(m)+f(n),且当x＞0时有f(x)＞0.
（1）求证：f(x)在（-∞,+∞)上为增函数；
（2）若f(1)=1,解不等式f［log₂(x²-x-2)］＜2.

答案

（1）证明见解析（2）不等式的解集为{x|-2＜x＜-1或2＜x＜3

解析

（1）证明 设x₂＞x₁,则x₂-x₁＞0.
∵f(x₂)-f(x₁)=f(x₂-x₁+x₁)-f(x₁)=f(x₂-x₁)+f(x₁)-f(x₁)=f(x₂-x₁)＞0,
∴f(x₂)＞f(x₁),f(x)在（-∞,+∞)上为增函数.
（2）解 ∵f(1)=1,∴2="1+1=f(1)+f(1)=f(2)."
又f［log₂(x²-x-2)］＜2,∴f［log₂(x²-x-2)］＜f(2).
∴log₂(x²-x-2)＜2,于是∴
即-2＜x＜-1或2＜x＜3.∴原不等式的解集为{x|-2＜x＜-1或2＜x＜3}.