已知函数f(x)=lg1+x1-x(Ⅰ)求证:对于f(x)的定义域内的任意两个实数a,b,都有f(a)+f(b)=f(a+b1+ab);(Ⅱ)判断f(x)的奇偶
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已知函数f(x)=lg1+x1-x(Ⅰ)求证:对于f(x)的定义域内的任意两个实数a,b,都有f(a)+f(b)=f(a+b1+ab);(Ⅱ)判断f(x)的奇偶
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=lg
1+x
1-x
(Ⅰ)求证:对于f(x)的定义域内的任意两个实数a,b,都有f(a)+f(b)=f(
a+b
1+ab
);
(Ⅱ)判断f(x)的奇偶性,并予以证明.
答案
(I)证明:∵f(x)=lg
1+x
1-x
∴f(a)+f(b)=lg
1+a
1-a
+lg
1+b
1-b
=lg
(
1+a
1-a
×
1+b
1-b
)
=lg
1+a+b+ab
1-a-b+ab
f(
a+b
1+ab
)=lg
1+
a+b
1+ab
1-
a+b
1+ab
=lg
1+a+b+ab
1-a-b+ab
∴对于f(x)的定义域内的任意两个实数a,b,都有f(a)+f(b)=f(
a+b
1+ab
);
(II)函数f(x)=lg
1+x
1-x
的定义域为(-1,1)
∵f(-x)=lg
1-x
1+x
=lg
(
1+x
1-x
)
-1
=-lg
1+x
1-x
=-f(x)
∴函数f(x)是奇函数.
举一反三
设函数f(x)的定义域是(0,+∞),对任意正实数m,n恒有f(mn)=f(m)+f(n),且当x>1时,f(x)<0,f(2)=-1
(1)求f(1)和f(
1
2
)的值;
(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是减函数.
题型:解答题
难度:一般
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已知函数
f(x)=
x
x+2
,x∈[3,6].
(Ⅰ)判断f(x)的单调性,并利用单调性的定义证明;
(Ⅱ)求f(x)在[3,6]上的最值.
题型:解答题
难度:一般
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设函数f(x)的定义域为D,若存在非零数l使得对于任意x∈M(M⊆D)有x+l∈D且f(x+l)≥f(x),则称f(x)为M上的l高调函数.现给出下列命题:
①函数f(x)=
(
1
2
)
x
为R上的1高调函数;
②函数f(x)=sin2x为R上的π高调函数
③如果定义域为[1,+∞)的函数f(x)=x
2
为[-1,+∞)上m高调函数,那么实数m的取值范围是[2,+∞)其中正确的命题是______.(写出所有正确命题的序号)
题型:填空题
难度:一般
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已知函数
f(x)=
4
x
2
-7
2-x
x∈[0,1],则f(x)
的单调递增区间为( )
A.(0,1)
B.(-2,1)
C.(0,
1
2
)
D.(
1
2
,1)
题型:单选题
难度:简单
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设函数f(x)=
(x+1
)
2
x<1
4-
x-1
x≥1
(1)求f[f(0)];
(2)若f(x)=1,求x值.
题型:解答题
难度:一般
|
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