(理科)已知函数y=f(x),x∈R满足f(x+1)=af(x),a是不为0的实常数.(1)若函数y=f(x),x∈R是周期函数,写出符合条件a的值;(2)若当
题型:解答题难度:一般来源:不详
(理科)已知函数y=f(x),x∈R满足f(x+1)=af(x),a是不为0的实常数. (1)若函数y=f(x),x∈R是周期函数,写出符合条件a的值; (2)若当0≤x<1时,f(x)=x(1-x),且函数y=f(x)在区间[0,+∞)上的值域是闭区间,求a的取值范围; (3)若当0<x≤1时,f(x)=3x+3-x,试研究函数y=f(x)在区间(0,+∞)上是否可能是单调函数?若可能,求出a的取值范围;若不可能,请说明理由. |
答案
(1)a=1时,T=1, a=-1时,f(x+1)=-f(x),f(x+2)=-f(x+1)=f(x), ∴T=2; (2)当n≤x≤n+1(n≥0,n∈Z)时,fn(x)=afn-1(x-1)=a2fn-1(x-2)=…=anf1(x-n),∴fn(x)=an(x-n)(n+1-x), ∴-|a|n≤fn(x)≤|a|n; 当|a|>1时f(x)∈(-∞,+∞)舍去; 当a=1时f(x)∈[0,]符合,当a=-1时f(x)∈[-,]符合; 当0<a<1时f(x)∈[0,]符合,当-1<a<0时f(x)∈[0,]符合;∴a∈[-1,0)∪(0,1]. (3)当n≤x≤n+1(n≥0,n∈Z)时,fn(x)=afn-1(x-1)=a2fn-1(x-2)=…=anf1(x-n),∴fn(x)=an(3x-n+3n-x); 易证函数fn(x)=an(3x-n+3n-x),x∈[n,n+1],n≥0,n∈Z当a>0时是增函数, 此时∴fn(x)∈[2an,an], 若函数y=f(x)在区间[0,+∞)上是单调增函数,则必有2an+1≥an,解得:a≥; 显然当a<0时,函数y=f(x)在区间[0,+∞)上不是单调函数; 所以a≥. |
举一反三
若f(x)是偶函数,且在(-∞,0)上是增函数,f(-3)=0,求<0的解集______. |
设f(x)=1-2x2,g(x)=x2-2x,若F(x)= | g(x) f(x)≥g(x) | f(x) f(x)<g(x) |
| | ,则F(x)的最大值为______. |
已知函数y=f (x)是奇函数,周期T=5,若f(-2)=2a-1则f (7)=______. |
若函数f(x)是定义在R上的奇函数,在(-∞,0)上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是______. |
设函数f(x)=x|x-a|,若对于任意的x1,x2∈[2,+∞),x1≠x2,不等式>0恒成立,则实数a的取值范围是______. |
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