已知函数y=f（x）是定义在区间[-32，32]上的偶函数，且x∈[0，32]时，f（x）=-x2-x+5．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若矩形ABCD的

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数y=f（x）是定义在区间[-

3

2

，

3

2

]上的偶函数，且x∈[0，

3

2

]时，f（x）=-x²-x+5．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若矩形ABCD的顶点A，B在函数y=f（x）的图象上，顶点C，D在x轴上，求矩形ABCD面积的最大值．

答案

解（1）当x∈[-

3

2

，0]时，-x∈[0，

3

2

]．
∴f（-x）=-（-x）²-（-x）+5=-x²+x+5．又∵f（x）是偶函数，
∴f（x）=f（-x）=-x²+x+5．
∴f（x）=

-x2+x+5 x∈[- 3 2 ，0] -x2-x+5 x∈(0 3 2 ].

（2）由题意，不妨设A点在第一象限，
坐标为（t，-t²-t+5），其中t∈（0，

3

2

]．
由图象对称性可知B点坐标为（-t，-t²-t+5）．
则S（t）=S_矩形ABCD=2t（-t²-t+5）=-2t³-2t²+10t．
s′（t）=-6t²-4t+10．由s′（t）=0，得t₁=-

5

3

（舍去），t₂=1．
当0＜t＜1时，s′（t）＞0；t＞1时，s′（t）＜0．
∴S（t）在（0，1]上单调递增，在[1，

3

2

]上单调递减．
∴当t=1时，矩形ABCD的面积取得极大值6，
且此极大值也是S（t）在t∈（0，

3

2

]上的最大值．
从而当t=1时，矩形ABCD的面积取得最大值6．