(1)∵f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1). ∴令y=x-1,得f(0)=f(x)f(x-1)+f(x-1)f(x-2). 再令x=1,代入上式得:f(0)=f(1)f(0)+f(0)f(-1). ∴f(0)[1-f(1)-f(-1)]=0. ∵f(1)=1>0>f(-1) ∴1-f(1)-f(-1)≠0 ∴f(0)=0, 由上面的证明,得f(x)f(x-1)+f(x-1)f(x-2)=0. 即f(x-1)[f(x)+f(x-2)]=0,而f(x-1)不恒等于0 故f(x)+f(x-2)=0恒成立 对上式令x=3,得f(3)+f(1)=0⇒f(3)=-f(1)=-1 (2)对f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1)令y=0,得 f(-x+1)=f(x)f(0)+f(x-1)f(-1) 由(1)得,f(-1)=-f(-1+2)=-1,f(0)=0 ∴f(-x+1)=-f(x-1),即f(-x)=-f(x), ∴函数为奇函数 (3)f(1-2x)=f(-x-x+1)=-f2(x)+f(x-1)f(-x-1) ∴f(1-2x)=- f 2(x)- f(x-1)f(x+1) ∴f(1-2x)+f2(x)=-f 2(x)-f(x-1)f(x+1)+f2(x) =[f2(x)-f(x+1)f(x-1)] ∵f2(x)=1-f2(x-1)⇒f2(x)-f(x+1)f(x-1)=1-f(x-1)[f(x-1)+f(x+1)] 而f(x-1)+f(x+1)=0,所以f2(x)-f(x+1)f(x-1)=1 ∴f(1-2x)+f2(x)= |