已知函数f(x)=x2+2x+3x(x∈[2，+∞))，（1）证明函数f（x）为增函数；（2）求f（x）的最小值．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=

x2+2x+3

x

(x∈[2，+∞))，
（1）证明函数f（x）为增函数；
（2）求f（x）的最小值．

答案

（1）证明：将函数式化为：f(x)=x+

3

x

+2，
任取x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=(x1+

3

x1

+2)-(x2+

3

x2

+2)=(x1-x2)•

(x1x2-3)

x1x2

，
∵x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂-3＞0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以函数f（x）为增函数；
（2）由（1）知，f（x）在[2，+∞）上单调递增，
所以当x=2时，f(x)有最小值

11

2

；