已知m∈R，函数f（x）=（x2+mx+m）ex（1）若函数没有零点，求实数m的取值范围；（2）当m=0时，求证f（x）≥x2+x3．
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知m∈R，函数f（x）=（x2+mx+m）ex
（1）若函数没有零点，求实数m的取值范围；
（2）当m=0时，求证f（x）≥x2+x3． |
答案
（1）∵m∈R，函数f（x）=（x2+mx+m）ex 没有零点，
∴方程 x2+mx+m=0 无解，∴△=m2-4m＜0，解得 0＜m＜4，
故实数m的取值范围为（0，4）．
（2）当m=0时，f（x）=x2 •ex，不等式等价于 x2 •ex≥x2+x3 ，
等价于 x2 •ex-x2 -x3≥0，等价于 x2（ex -x-1）≥0．
令g（x）=ex -x-1，当x＜0时，g′（x）=ex -1＜0，故g（x）=ex -x-1 在（-∞，0）上是减函数．
当x＞0时，g′（x）=ex -1＞0，故g（x）=ex -x-1 在（0，+∞）上是增函数．
故g（x）=ex -x-1 在（-∞，+∞）上的最小值为g（0）=0，故g（x）≥0恒成立，
∴x2（ex -x-1）≥0成立，故要证的不等式成立． |
举一反三
| f（x）在R上为减函数，则不等式f（x）＞f（1）的解集是______． |
已知函数f(x)=x+，其中a∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）为奇函数，求实数a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围． |
| 已知函数y=的最大值为7，最小值为-1，求此函数式． |
已知定义在R上的函数f（x）同时满足：
①f(0)=f()=1；②f（m+n）+f（m-n）=2f（m）cos2n+8sin2n（m，n∈R）．
则（1）f(+x)+f(x)=______；
（2）函数f（x）的最大值是______． |
已知a≠0，函数f(x)=a2x3-ax2+，g（x）=-ax+1，x∈R．
（I）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若在区间(0，]上至少存在一个实数x0，使f（x0）＞g（x0）成立，试求正实数a的取值范围． |
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