已知m∈R,函数f(x)=(x2+mx+m)ex(1)若函数没有零点,求实数m的取值范围;(2)当m=0时,求证f(x)≥x2+x3.

已知m∈R,函数f(x)=(x2+mx+m)ex(1)若函数没有零点,求实数m的取值范围;(2)当m=0时,求证f(x)≥x2+x3.

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知m∈R,函数f(x)=(x2+mx+m)ex
(1)若函数没有零点,求实数m的取值范围;
(2)当m=0时,求证f(x)≥x2+x3
答案
(1)∵m∈R,函数f(x)=(x2+mx+m)ex 没有零点,
∴方程 x2+mx+m=0 无解,∴△=m2-4m<0,解得 0<m<4,
故实数m的取值范围为(0,4).
(2)当m=0时,f(x)=x2 •ex,不等式等价于 x2 •ex≥x2+x3
等价于 x2 •ex-x2 -x3≥0,等价于 x2(ex -x-1)≥0.
令g(x)=ex -x-1,当x<0时,g′(x)=ex -1<0,故g(x)=ex -x-1 在(-∞,0)上是减函数.
当x>0时,g′(x)=ex -1>0,故g(x)=ex -x-1 在(0,+∞)上是增函数.
故g(x)=ex -x-1 在(-∞,+∞)上的最小值为g(0)=0,故g(x)≥0恒成立,
∴x2(ex -x-1)≥0成立,故要证的不等式成立.
举一反三
f(x)在R上为减函数,则不等式f(x)>f(1)的解集是______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=x+
a
x2
,其中a∈R.
(Ⅰ)若函数f(x)为奇函数,求实数a的值;
(Ⅱ)若函数f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数y=
mx2+4


3
x+n
x2+1
的最大值为7,最小值为-1,求此函数式.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知定义在R上的函数f(x)同时满足:
f(0)=f(
π
4
)=1
;②f(m+n)+f(m-n)=2f(m)cos2n+8sin2n(m,n∈R).
则(1)f(
π
2
+x)+f(x)
=______;
(2)函数f(x)的最大值是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知a≠0,函数f(x)=
1
3
a2x3-ax2+
2
3
,g(x)=-ax+1,x∈R.
(I)求函数f(x)的单调递减区间;
(Ⅱ)若在区间(0,
1
2
]
上至少存在一个实数x0,使f(x0)>g(x0)成立,试求正实数a的取值范围.
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