设定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足;对任意a,b∈(0,+∞),都有f(b)=f(a)-f(ab),且当x>1时,f(x)>0.(1)求f(1)的值;(2
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设定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足;对任意a,b∈(0,+∞),都有f(b)=f(a)-f(ab),且当x>1时,f(x)>0.(1)求f(1)的值;(2
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
设定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足;对任意a,b∈(0,+∞),都有f(b)=f(a)-f(
a
b
),且当x>1时,f(x)>0.
(1)求f(1)的值;
(2)判断并证明函数f(x)的单调性;
(3)如果f(3)=1,解不等式f(x)-f(
1
x-8
)>2.
答案
(1)取a=b=1,得f(1)=f(1)-f(1)=0,所以f(1)=0.
(2)函数在(0,+∞)上是单调增函数.
任取x
1
,x
2
∈(0,+∞),设x
1
<x
2
,则f(x
2
)-f(x
1
)=f(
x
2
x
1
),因为0<x
1
<x
2
,所以
x
2
x
1
>1,又当x>1时,有f(x)>0,所以f(x
2
)-f(x
1
)=f(
x
2
x
1
)>0,即f(x
2
)>f(x
1
).所以f(x)在(0,+∞)上是单调增函数.
(3)若f(3)=1,则2=1+1=f(3)+f(3)=f(9),f(x)-f(
1
x-8
)=f(x(x-8)),则不等式f(x)-f(
1
x-8
)>2可以化为f(x(x-8))>f(9),即
x>0
x-8>0
x(x-8)>0
,解得x>9.即不等式的解集为(9,+∞).
举一反三
已知函数
f(x)=
1
2
x
2
+lnx+(a-4)x
在(1,+∞)上是增函数.
(1)求实数a的取值范围;
(2)在(1)的结论下,设
g(x)=|
e
x
-a|+
a
2
2
,x∈[0,ln3]
,求函数g(x)的最小值.
题型:解答题
难度:一般
|
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若f (x)是偶函数,且当x∈[0,+∞)时,f (x)=x-1,则不等式f(x-1)>1的解集是( )
A.{x|-1<x<3}
B.{x|x<-1或x>3}
C.{x|x>2}
D.{x|x>3}
题型:单选题
难度:简单
|
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随着机构改革开作的深入进行,各单位要减员增效,有一家公司现有职员2a人(140<2a<420,且a为偶数),每人每年可创利b万元.据评估,在经营条件不变的前提下,每裁员1人,则留岗职员每人每年多创利0.01b万元,但公司需付下岗职员每人每年0.4b万元的生活费,并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的
3
4
,为获得最大的经济效益,该公司应裁员多少人?
题型:解答题
难度:一般
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f(x)满足f(x)=f(4-x),且当x>2时f(x)是增函数,则a=f(1.1
0.9
),b=f(0.9
1.1
),
c=f(lo
g
1
2
4)
的大小关系是( )
A.a>b>c
B.b>a>c
C.a>c>b
D.c>b>a
题型:单选题
难度:简单
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知函数f(x)=ax
3
+bx
2
+cx+d(a>0)图象如图,则
y=a
x
2
+
2
3
bx+
c
3
的单调增区间______.
题型:填空题
难度:一般
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