定义区间(a,b),[a,b),(a,b][a,b]的长度均为d=b-a,多个区间并集的长度为各区间长度之和,例如(1,2)∪(3,5)的长度为d=(2-1)+
题型:单选题难度:简单来源:内江一模
定义区间(a,b),[a,b),(a,b][a,b]的长度均为d=b-a,多个区间并集的长度为各区间长度之和,例如(1,2)∪(3,5)的长度为d=(2-1)+(5-3)=3,用[x]表示不超过x的最大整数,记<x>=x-[x],其中x∈R.设f(x)=[x]•<x>,g(x)=2x-[x]-2,若d1,d2,d3分别表示不等式f(x)>g(x)、方程f(x)=g(x)、不等式f(x)<g(x)解集的长度,则当0≤x≤2012时,有( )A.d1=2,d2=0,d3=2010 | B.d1=1,d2=1,d3=2010 | C.d1=2,d2=1,d3=2009 | D.d1=2,d2=2,d3=2008 |
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答案
∵f(x)=[x]•<x>=[x]•(x-[x])=[x]x-[x]2,g(x)=2x-[x]-2, f(x)>g(x),等价于[x]x-[x]2>2x-[x]-2,即([x]-2)x>[x]2-[x]-2,即 ([x]-2)x>([x]-2)([x]+1). 当x∈[0,1)时,[x]=0,上式可化为x<1,∴x∈[0,1); 当x∈[1,2)时,[x]=1,上式可化为x<2,∴x∈[1,2); 当x∈[2,3)时,[x]=2,上式可化为 0>0,∴x∈∅; 当x∈[3,2012]时,[x]-1>0,上式可化为x>[x]+1,∴x∈∅; ∴f(x)>g(x)在0≤x≤2012时的解集为[0,2),故d1=2. f(x)=g(x)等价于[x]x-[x]2 =2x-[x]-2,即([x]-2)x=[x]2-[x]-2, 当x∈[0,1)时,[x]=0,上式可化为x=1,∴x∈∅; 当x∈[1,2)时,[x]=1,上式可化为x=2,∴x∈∅; 当x∈[2,3)时,[x]=2,上式可化为0=0,∴x∈[2,3); 当x∈[3,2012]时,[x]-2>0,上式可化为x=[x]+1,∴x∈∅; ∴f(x)=g(x)在0≤x≤2012时的解集为[2,3),故d2=1. f(x)<g(x)等价于[x]x-[x]2 <2x-[x]-2,即([x]-2)x<[x]2-[x]-2, 当x∈[0,1)时,[x]=0,上式可化为x>1,∴x∈∅; 当x∈[1,2)时,[x]=1,上式可化为x>2,∴x∈∅; 当x∈[2,3)时,[x]=2,上式可化为 0<0,∴x∈∅; 当x∈[3,2012]时,[x]-2>0,上式可化为x<[x]+1,∴x∈[3,2012]; ∴f(x)<g(x)在0≤x≤2012时的解集为[3,2012],故d3=2009. 故选C. |
举一反三
对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称x0为 f(x)的不动点.如果函数f(x)=有且仅有两个不动点0、2. (1)求b、c满足的关系式; (2)若c=时,相邻两项和不为零的数列{an}满足4Snf()=1(Sn是数列{an}的前n项和),求证:(1-)an+1<<(1-)an; (3)在(2)的条件下,设bn=-,Tn是数列{bn}的前n项和,求证:T2012-1<ln2012<T2011. |
函数f(x)=,则该函数为( )A.单调递增函数,奇函数 | B.单调递增函数,偶函数 | C.单调递减函数,奇函数 | D.单调递减函数,偶函数 |
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已知定义在正整数集上的函数f(n)满足以下条件: (1)f(m+n)=f(m)+f(n)+mn,其中m,n为正整数; (2)f(3)=6. 则f(2013)=______. |
定义一种运算(a,b)*(c,d)=ad-bc,若函数f(x)=(1,lnx)*(tan,2x),x0是方程f(x)=0的解,且x0<x1,则f(x1)的值( ) |
已知函数f(x)满足f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max(p,q)表示p,q中的较大值,min(p,q)表示p,q中的较小值),记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A-B=( )A.a2-2a-16 | B.a2+2a-16 | C.-16 | D.16 |
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