对于函数y=f(x)与常数a,b,若f(2x)=af(x)+b恒成立,则称(a,b)为函数f(x)的一个“P数对”;若f(2x)≥af(x)+b恒成立,则称(a
题型:解答题难度:一般来源:黄埔区一模
对于函数y=f(x)与常数a,b,若f(2x)=af(x)+b恒成立,则称(a,b)为函数f(x)的一个“P数对”;若f(2x)≥af(x)+b恒成立,则称(a,b)为函数f(x)的一个“类P数对”.设函数f(x)的定义域为R+,且f(1)=3. (1)若(1,1)是f(x)的一个“P数对”,求f(2n)(n∈N*); (2)若(-2,0)是f(x)的一个“P数对”,且当x∈[1,2)时f(x)=k-|2x-3|,求f(x)在区间[1,2n)(n∈N*)上的最大值与最小值; (3)若f(x)是增函数,且(2,-2)是f(x)的一个“类P数对”,试比较下列各组中两个式子的大小,并说明理由. ①f(2-n)与2-n+2(n∈N*); ②f(x)与2x+2(x∈(0,1]). |
答案
(1)若(1,1)是f(x)的一个“P数对”,即f(2x)=f(x)+1恒成立,整理f(2x)-f(x)=1,令x=2k,则f(2k+1)-f(2k)=1, 所以f(2),f(4),f(8),…f(2n)构成公差为1的等差数列, 令x=1得f(2)=f(1)+1=4,所以f(2n)=4+(n-1)×1=n+3 (2)当x∈[1,2)时f(x)=k-|2x-3|,令x=1,则f(1)=k-1=3,解得k=4,即当x∈[1,2)时f(x)=4-|2x-3|,所以f(x)在[1,2)上的取值范围是[3,4], 又(-2,0)是f(x)的一个“P数对”,即f(2x)=-2f(x)恒成立,当x∈[2k-1,2k)(k∈N*)时,∈[1,2) f(x)=-2f()=4f()=…=(-2)k-1f(), 故当k为奇数时,f(x)在[2k-1,2k)上的取值范围是[3×2k-1,2k+1] 当k为偶数时,f(x)在[2k-1,2k)上的取值范围是[-2k+1,-3×2k-1] 所以当n=1时,f(x)在区间[1,2n)上的最大值为4,最小值为3. 当n为不小于3的奇数时,f(x)在区间[1,2n)上的最大值为2n+1,最小值为-2n n为不小于2的偶数时,f(x)在区间[1,2n)上的最大值为2n,最小值为-2n+1. (3)(2,-2)是f(x)的一个“类P数对”,可知f(2x)≥2f(x)-2恒成立.即f(x)≤f(2x)+1恒成立. 令x=,则得f()≤f()+1 即f()-2≤[f()-2]对一切k∈N*恒成立. 所以f()-2≤[f()-2]≤[f()-2]≤…≤[f(1)-2]=故f(2-n)≤2-n+2(n∈N*); 若x∈(0,1]),则必存在n∈N*,使得∈(,],由f(x)是增函数,故f(x)≤f()≤+2 又2x+2>2×+2=+2,故有f(x)<2x+2 |
举一反三
已知函数f(x)是定义在正实数集上的单调函数,且满足对任意x>0,都有f[f(x)-lnx]=1+e,则f(1)=______. |
定义区间(a,b),[a,b),(a,b][a,b]的长度均为d=b-a,多个区间并集的长度为各区间长度之和,例如(1,2)∪(3,5)的长度为d=(2-1)+(5-3)=3,用[x]表示不超过x的最大整数,记<x>=x-[x],其中x∈R.设f(x)=[x]•<x>,g(x)=2x-[x]-2,若d1,d2,d3分别表示不等式f(x)>g(x)、方程f(x)=g(x)、不等式f(x)<g(x)解集的长度,则当0≤x≤2012时,有( )A.d1=2,d2=0,d3=2010 | B.d1=1,d2=1,d3=2010 | C.d1=2,d2=1,d3=2009 | D.d1=2,d2=2,d3=2008 |
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对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称x0为 f(x)的不动点.如果函数f(x)=有且仅有两个不动点0、2. (1)求b、c满足的关系式; (2)若c=时,相邻两项和不为零的数列{an}满足4Snf()=1(Sn是数列{an}的前n项和),求证:(1-)an+1<<(1-)an; (3)在(2)的条件下,设bn=-,Tn是数列{bn}的前n项和,求证:T2012-1<ln2012<T2011. |
函数f(x)=,则该函数为( )A.单调递增函数,奇函数 | B.单调递增函数,偶函数 | C.单调递减函数,奇函数 | D.单调递减函数,偶函数 |
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