(Ⅰ)由f(x)=x-e (a>0),得:f′(x)=1-e,则f′(0)=1-,f(0)=-1. ∴曲线y=f(x)在x=0的切线l的方程为y=(1-)x-1. 若l与曲线y=ex相切,设切点为(x0,y0),则①. 由a>0,得:0<ex0=1-<1,∴x0<0, 由①得x0=1+>1.与x0<0矛盾. ∴曲线y=f(x)在x=0的切线不能与曲线y=ex相切. (Ⅱ)令f′(x)=0,得1-e=0,即x=alna. 由f′(x)>0,得x<alna,由f′(x)<0,得:x>alna. ∴f(x)在(-∞,alna]上为增函数,在[alna,+∞)上为减函数. ∴当a>alna,即a<e时,f(x)max=f(a)=a-e. 当a≤alna≤2a,即e≤a≤e2时,f(x)max=f(alna)=alna-a. 当2a<alna,即a>e2时,f(x)max=f(2a)=2a-e2. (Ⅲ)证明:由(Ⅱ)知f(x)max=f(alna)=alna-a. ∵f(x1)=f(x2)=0,∴f(x)max=f(alna)=alna-a>0. ∴lna>1,得:a>e,∴f(a)=a-e>0,且f(alna)>0. 得x2-x1>alna-a,又x1=e,x2=e, ∴=e(x1-x2)<e(a-alna)=. |