某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中综合污染指数f（x）与时间x（小时）的关系为f（x）=|12sinπ32x+13-a|+2a，x

题型：解答题难度：一般来源：不详

某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中综合污染指数f（x）与时间x（小时）的关系为f（x）=|

1

2

sin

π

32

x+

1

3

-a|+2a，x∈[0，24]，其中a为与气象有关的参数，且a∈[

1

3

，

3

4

]．若将每天中f（x）的最大值作为当天的综合污染指数，并记作M（a）．
（Ⅰ）令t=

1

2

sin

π

32

x，x∈[0，24]，求t的取值范围；
（Ⅱ）求函数M（a）的解析式；
（Ⅲ）为加强对环境污染的整治，市政府规定每天的综合污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合污染指数是否超标？

答案

（Ⅰ）因为x∈[0，24]，所以

πx

32

∈[0，

3π

4

]，所以sin(

πx

32

)∈[0，1]，故t∈[0，

1

2

]．
（Ⅱ）因为a∈[

1

3

，

3

4

]，所以0≤a-

1

3

≤

5

12

＜

1

2

，
所以f(t)=|t-(a-

1

3

)|+2a=

-t+3a- 1 3 ，t∈[0，a- 1 3 ] t+a+ 1 3 ，t∈[a- 1 3 ， 1 2 ]

．
当t∈[0，a-

1

3

]时，f(t)max=f(0)=3a-

1

3

；
当t∈[a-

1

3

，

1

2

]，f(t)max=f(

1

2

)=

5

6

+a．
而f(0)-f(

1

2

)=2a-

7

6

，
当

1

3

≤a≤

7

12

，f(0)≤f(

1

2

)，M(a)=f(

1

2

)=

5

6

+a；
当

7

12

＜a≤

3

4

，f(0)＞f(

1

2

)，M(a)=f(0)=3a-

1

3

．
所以M(a)=

5 6 +a，a∈[ 1 3 ， 7 12 ] 3a- 1 3 ，a∈( 7 12 ， 3 4 ]

，
（Ⅲ）由（Ⅱ）知M（a）的最大值为

23

12

，它小于2，所以目前市中心的综合污染指数没有超标．