(Ⅰ)易知f(x)的定义域为x∈(-,+∞). f′(x)=x-+m==. 由f′(x)=0得:x=0或x=-m-. ∵m<0,∴-m-∈(-,+∞). ∴(1)当-≤m<0时,则x∈(-,-m-)时,f′(x)>0,f(x)为增函数; x∈(-m-,0)时,f′(x)<0,f(x)为减函数; x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数. (2)当m<-时,则x∈(-,0)时,f′(x)>0,f(x)为增函数; x∈(0,-m-)时,f′(x)<0,f(x)为减函数; x∈(-m-,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数.
(Ⅱ)在x∈(-,]上至少存在一点x0,使f(x0)>g+1成立, 等价于当x∈(-,]时,f(x)max>g+1. ∵m≤-,∴≤-m-. 由(Ⅰ)知,x∈(-,0]时,f(x)为增函数,x∈[0,)时,f(x)为减函数. ∴在x∈(-,]时,f(x)max=f(0)=-2m.∴-2m>g+1,即m<. 检验,上式满足m≤-,所以m<是所求范围.
(Ⅲ)当m=-1时,函数f(x)=x2+ln-x+2. 构造辅助函数g(x)=f(x)-x,并求导得g′(x)=x+-== 显然当x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)为减函数. ∴对任意0<x1<x2<1,都有g(x1)>g(x2)成立,即f(x1)-x1>f(x2)-x2. 即f(x2)-f(x1)<(x2-x1) 即.又∵x2-x1>0,∴<. |