如图，某小区准备绿化一块直径为AB的半圆形空地，点C在半圆弧上，半圆内△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS内部为一水池，其余地方种花，若AB=2a

题型：解答题难度：一般来源：不详

如图，某小区准备绿化一块直径为AB的半圆形空地，点C在半圆弧上，半圆内△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS内部为一水池，其余地方种花，若AB=2a，∠CAB=θ，设△ABC的面积为S₁，正方形PQRS的边长为x，面积为S₂，将比值

S1

S2

称为“规划合理度”．
（1）求证：x=

2asin2θ

2+sin2θ

．
（2）当a为定值，θ变化是，求“规划合理度”的最小值及此时角θ的大小．

答案

（1）在△ABC中，AB=2a，∠CAB=θ
所以AC=2acosθ，BC=2asinθ
因为正方形PQRS的边长为x
所以AC=

x

sinθ

+xcosθ，2acosθ=

x

sinθ

+xcosθ，
∴x=

2asin2θ

2+sin2θ

（2）因为△ABC中，AC=2acosθ，BC=2asinθ
所以s1=4a2sinθcosθ=2a2sin2θ
因x=

2asin2θ

2+sin2θ

所以s2=

4a2(sin2θ)2

(2+sin2θ)2

因此“规划合理度”

s1

s2

 =

(2+sin2θ)2

2sin2θ

，θ∈(0，

π

2

)

s1

s2

=

(2+sin2θ)2

2sin2θ

=

1

2

(

4

sin2θ

+sin2θ+4)≥

9

2

当且仅当sin2θ=1即θ=

π

4

时取得最小值

9

2