已知函数f（x）。（1）若函数f（x）是（0，+∞）上的增函数，求k的取值范围；（2）证明：当k=2时，不等式f（x）＜lnx对任意x＞0恒成立；（3）证明：l

题型：解答题难度：困难来源：0111 模拟题

已知函数f（x）。
（1）若函数f（x）是（0，+∞）上的增函数，求k的取值范围；
（2）证明：当k=2时，不等式f（x）＜lnx对任意x＞0恒成立；
（3）证明：ln（1×2）+ln（2×3）+…ln[n（n+1）]＞2n-3。

答案

解：（1）∵
所以
∵f（x）是上的增函数
∴对恒成立
∴
得
而时
∴为常函数，不满足条件
所以；
（2）当时，
∵
所以不等式对任意x＞0恒成立等价于对任意x＞0恒成立
令，
∴g（x）在（0，3）上递减，在（3，+∞）上递增
∴
即对任意x＞0恒成立
所以不等式对任意x＞0恒成立；
（3）由（2）知，对任意x＞0恒成立
∴
∴
∴
。