已知定义域为R的函数f(x)=-2x+a2x+1是奇函数,(1)求a值,并判断f(x)的单调性(不需证明);(2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(
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已知定义域为R的函数f(x)=-2x+a2x+1是奇函数,(1)求a值,并判断f(x)的单调性(不需证明);(2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知定义域为R的函数
f(x)=
-
2
x
+a
2
x
+1
是奇函数,
(1)求a值,并判断f(x)的单调性(不需证明);
(2)若对任意的t∈R,不等式f(t
2
-2t)+f(2t
2
-k)<0恒成立,求实数k的取值范围.
答案
(1)∵定义域为R的函数
f(x)=
-
2
x
+a
2
x
+1
是奇函数,
∴
f(0)=
-1+a
2
=0
,
∴a=1,
∴
f(x)=
1-
2
x
1+
2
x
经验证,f(x)为奇函数,
∴a=1,
函数f(x)为减函数.
(2)由f(t
2
-2t)+f(2t
2
-k)<0得f(t
2
-2t)<-f(2t
2
-k),
∵f(x)是奇函数,
∴f(t
2
-2t)<f(k-2t
2
),
由(1),f(x)是减函数,
∴原问题转化为t
2
-2t>k-2t
2
,
即3t
2
-2t-k>0对任意t∈R恒成立
∴△=4+12k<0,
得
k<-
1
3
即为所求.
举一反三
已知函数f(x)=log
9
(9
x
+1)+kx(k∈R)是偶函数.
(1)求k的值;
(2)若函数y=f(x)的图象与直线
y=
1
2
x+b
没有交点,求b的取值范围;
(3)设
h(x)=lo
g
9
(a•
3
x
-
4
3
a)
,若函数f(x)与h(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=x
3
-ax,
g(x)=
1
2
x
2
-lnx-
5
2
(1)若对一切x∈(0,+∞),有不等式f(x)≥2x•g(x)-x
2
+5x-3恒成立,求实数a的取值范围;
(2)记
G(x)=
1
2
x
2
-
5
2
-g(x)
,求证:
G(x)>
1
e
x
-
2
ex
.
题型:解答题
难度:一般
|
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题型:填空题
难度:一般
|
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f(x)=
-m|x|x∈(-1,1)
1-(x-2
)
2
x∈[1,3]
,其中m>0,若方程3f(x)=x恰有5个实数解,则m的取值范围为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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2
,则当x<0时,f(x)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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