已知函数f(x)=x2+2x+alnx.(1)求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若函数f(x)在区间(0,2]上恒为单调函数,求实数a的取值
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=x2+2x+alnx. (1)求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若函数f(x)在区间(0,2]上恒为单调函数,求实数a的取值范围; (3)当t≥1时,不等式f(3t-2)≥3f(t)-6恒成立,求实数a的取值范围. |
答案
(1)由题意得,f′(x)=2x+2+, ∴f′(1)=4+a,且f(1)=3, ∴过点(1,f(1))的切线方程为y-3=(4+a)(x-1), 即(4+a)x-y-a-1=0, (2)由f(x)在区间(0,2]上恒为单调函数得, 当f(x)在区间(0,2]上恒为单调增时, ∴f′(x)=2x+2+≥0在(0,2]恒成立, 即2x2+2x+a≥0,∴-a≤2x2+2x, ∵2x2+2x在(0,2]上最小值为0, ∴-a≤0,即a≥0, 当f(x)在区间(0,2]上恒为单调减时, ∴f′(x)=2x+2+≤0在(0,2]恒成立, 即2x2+2x+a≤0,∴-a≥2x2+2x, ∵2x2+2x在(0,2]上最小值为12, ∴-a≥12,即a≤-12. 综上得,实数a的取值范围是a≥0或a≤-12. (3)由题意令:h(t)=f(3t-2)-[3f(t)-6](t≥1), 又∵h′(t)=3[f′(3t-2)-f′(t)]=6(t-1)[2-](t≥1), ∵t≥1,∴t(3t-2)≥1. 1°当a≤2时,2-≥0,h′(t)≥0(等号不恒成立), ∴h(t)在[1,+∞)上为增函数, 且h(1)=f(1)-[3f(1)-6]=3-3=0, 则h(t)≥h(1)对任意的t∈[1,+∞)恒成立. 2°当a>2时, h′(t)==, ∵<1<, ∴当t∈(1,)时,h′(t)<0, h(t)在(1,)上为减函数, 则h(t)<h(1)=0,不合题意,舍去. 综上所述,实数a的取值范围为(-∞,2]. |
举一反三
下列三个函数:①y=x3+1;②y=sin3x;③y=x+中,奇函数的个数是( ) |
设函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)=f(x+1)-f(x),若f(4)<-1,f(2011)=,则a的取值范围是( )A.(-∞,3) | B.(0,3) | C.(3,+∞) | D.(-∞,0)∪(3,+∞) |
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已知y=f(x)是定义域为R的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x.则f(x) 在x<0上的解析式为( )A.f(x)=x2+2x | B.f(x)=-x2+2x | C.f(x)=x2-2x | D.f(x)=-x2-2x |
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已知函数f(x)=x3-3a|x-1|, (1)当a=1时,试判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)当a>0时,求函数f(x)在[0,+∞)内的最小值. |
函数f(x)=是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,则a等于( ) |
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