定义:对于函数f(x),x∈M⊆R,若f(x)<f"(x)对定义域内的x恒成立,则称函数f(x)为ϕ函数.(Ⅰ)证明:函数f(x)=ex1nx为ϕ函数.(Ⅱ)对
题型:解答题难度:一般来源:安徽模拟
定义:对于函数f(x),x∈M⊆R,若f(x)<f"(x)对定义域内的x恒成立,则称函数f(x)为ϕ函数. (Ⅰ)证明:函数f(x)=ex1nx为ϕ函数. (Ⅱ)对于定义域为(0,+∞)的ϕ函数f(x),求证:对于定义域内的任意正数x1,x2,…,xn,均在f(1n(x1+x2+…+xn))>f(1nx1)+f(1nx2).+…+f(1nxn) |
答案
证明:(Ⅰ)∵f(x)=exlnx, ∴f′(x)=exlnx+, 因为x>0, 所以>0, 所以f"(x)>f(x) 所以函数f(x)=ex1nx为ϕ函数.…(6分) (Ⅱ)构造函数g(x)=,g′(x)=>0, 即g(x)在R上递增,…(8分) 所以g(ln(x1+x2+…xn))>g(lnx1),g(lnx1),g(ln(x1+x2+…+xn))>g(lnx2),…,g(ln(x1+x2+…+xn))>g(lnxn) 得到x1f(ln(x1+x2+…+xn)) | x1+x2+…+xn | >f(lnx1)x2f(ln(x1+x2+…+xn)) | x1+x2+…+xn | >f(lnx2) …xnf(ln(x1+x2+…+xn)) | x1+x2+…+xn | >f(lnxn) 相加后,得到:f(ln(x1+x2+…+xn))>f(lnx1)+f(lnx2)+…+f(lnxn).…(12分) |
举一反三
设f(x)是以4为周期的偶函数,且当x∈[0,2]时,f(x)=x,则f(7.6)=______. |
已知函数f(x)是定义在区间(-1,1)上的奇函数,且对于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,则实数a的取值范围是 ______. |
定在实数集R上的偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),当x∈[2,3]时,f(x)=x,则当x∈[-2,0]时,f(x)=______. |
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,则实数b等于( ) |
设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈[-1,1]). (1)若t>0,求f(x)的最小值h(t); (2)对于(1)中的h(t),若t∈(0,2]时,h(t)<-2t+m2+4m恒成立,求实数m的取值范围. |
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