定义:已知函数f(x)在[m,n](m<n)上的最小值为t,若t≤m恒成立,则称函数f(x)在[m,n](m<n)上具有“DK”性质.已知f(x)=ax2-|x
题型:解答题难度:一般来源:不详
定义:已知函数f(x)在[m,n](m<n)上的最小值为t,若t≤m恒成立,则称函数f(x)在[m,n](m<n)上具有“DK”性质.已知f(x)=ax2-|x|+2a-1 (1)若a=1,判断函数f(x)在[1,2]上是否具有“DK”性质,说明理由. (2)若f(x)在[1,2]上具有“DK”性质,求a的取值范围. |
答案
(1)∵a=1,x∈[1,2] ∴f(x)=x2-|x|+1=x2-x+1, ∴f(x)min=1≤1, ∴函数f(x)在[1,2]上具有“DK”性质.…(4分) (2)当x∈[1,2]时,f(x)=ax2-x+2a-1…(5分) ①若a=0,则f(x)=-x-1在区间[1,2]上是减函数,f(x)min=f(2)=-3≤1 满足函数f(x)具有“DK”性质,∴a=0…(6分) ②若a≠0,则f(x)=a(x-)2+2a--1,函数的对称轴为直线x= 当a<0时,f(x)在区间[1,2]上是减函数,f(x)min=f(2)=6a-3≤1 满足函数f(x)具有“DK”性质,∴a<0…(7分) 当0<<1,即a>时,f(x)在区间[1,2]上是增函数f(x)min=f(1)=3a-2, 若函数f(x)具有“DK”性质,则3a-2≤1 ∴<a≤1…(8分) 当1≤≤2,即≤a≤时,f(x)min=f()=2a--1 若函数f(x)具有“DK”性质,则2a--1≤1得≤a≤ ∴≤a≤…(9分) 当>2,即0<a<时,f(x)在区间[1,2]上是减函数,f(x)min=f(2)=6a-3≤1,满足函数f(x)具有“DK”性质,∴0<a<…(10分) 综上所述,若f(x)在[1,2]上具有“DK”性质,则a的取值范围为(-∞,1].…(12分) |
举一反三
f(x)=tanx+sinx+1,若f(b)=2,则f(-b)=( ) |
函数y=( )A.是奇函数不是偶函数 | B.是偶函数不是奇函数 | C.既是奇函数又是偶函数 | D.既不是奇函数也不是偶函数 |
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已知函数f(x)=,给出下列关于f(x)的性质: ①f(x)是周期函数,3是它的一个周期;②f(x)是偶函数;③方程f(x)=cosx有有理根;④方程f[f(x)]=f(x)与方程f(x)=1的解集相同 正确的个数为( ) |
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=3x,则f(-2)=( ) |
下列函数中,既是偶函数、又在区间(-1,0)单调递增的函数是( )A.y=|x|+1 | B.y=x2+1 | C.y=2-|x| | D.y=-cosx |
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