若存在实数a∈R,使得不等式 x|x-a|+b<0对于任意的x∈[0,1]都成立,则实数b的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般来源:不详
若存在实数a∈R,使得不等式 x|x-a|+b<0对于任意的x∈[0,1]都成立,则实数b的取值范围是______. |
答案
问题等价于:当0≤x≤1时,x|x-a|+b<0恒成立,当x=0时a取任意实数不等式恒成立 也即x+<a<x-恒成立 令g(x)=x+在0<x≤1上单调递增,∴a>gmax(x)=g(1)=1+b(10分) 令h(x)=x-,则h(x)在(0,]上单调递减,[,+∞)单调递增 1°当b<-1时h(x)=x-在0<x≤1上单调递减 ∴a<hmin(x)=h(1)=1-b.∴1+b<a<1-b. 2°当-1≤b<2 -3时,h(x)=x-≥2 , ∴a<hmin(x)=2 ,∴1+b<a<2 . 故可知b<-3+2时,存在实数a∈R,使得不等式 x|x-a|+b<0对于任意的x∈[0,1]都成立 故答案为:b<-3+2. |
举一反三
已知函数y=f(x-1)是定义在R上的奇函数,函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x-y=0对称,那么y=g(x)的对称中心为( )A.(1,0) | B.(-1,0) | C.(0,1) | D.(0,-1) |
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函数f(x)=x3+x(x∈R)( )A.是奇函数且在(-∞,+∞)上是增函数 | B.是奇函数且在(-∞,+∞)上是减函数 | C.是偶函数且在(-∞,+∞)上是增函数 | D.是偶函数且在(-∞,+∞)上是减函数 |
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函数f(x)=cos2x+sin(+x)是______(填奇偶性). |
已知偶函数f(x),对任意x1,x2∈R,恒有:f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+2x1x2+1, (1)求f(0),f(1),f(2)的值; (2)求f(x); (3)判断F(x)=[f(x)]2-2f(x)在(0,+∞)上的单调性. |
函数f(x)=-sin2x+sinx+a,若1≤f(x)≤对一切x∈R恒成立,求a的取值范围. |
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