已知f(x)=ax+bx+2-2a(a>0)在图象在点(1,f(1))处的切线与直线y=2x+1平行.(1)求a,b满足的关系式;(2)若f(x)≥2lnx在[
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已知f(x)=ax+bx+2-2a(a>0)在图象在点(1,f(1))处的切线与直线y=2x+1平行.(1)求a,b满足的关系式;(2)若f(x)≥2lnx在[
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知f(x)=ax+
b
x
+2-2a(a>0)在图象在点(1,f(1))处的切线与直线y=2x+1平行.
(1)求a,b满足的关系式;
(2)若f(x)≥2lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范围;
(3)若a=1,数列{a
n
}满足a
1
=2,a
n+1
=f(a
n
)+2-a
n
(n∈N
*
),求证:a
1
•a
2
•a
3
…a
n
=n+1.
答案
(1)求导函数可得f′(x)=a-
b
x
2
,根据题意f′(1)=a-b=2,即b=a-2;
(2)由(1)知,f(x)=ax+
a-2
x
+2-2a,
令g(x)=f(x)-2lnx=ax+
a-2
x
+2-2a-2lnx,x∈[1,+∞)
则g(1)=0,g′(x)=
a(x-1)(x-
2-a
a
)
x
2
①当0<a<1时,
2-a
a
>1
,若1<x<
2-a
a
,则g′(x)<0,g(x)在[1,+∞)减函数,所以g(x)<g(1)=0,即f(x)<2lnx在[1,+∞)上恒成立;
②a≥1时,
2-a
a
≤1
,当x>1时,g′(x)>0,g(x)在[1,+∞)增函数,又g(1)=0,所以f(x)≥2lnx.
综上所述,所求的取值范围是[1,+∞);
(3)证明:取a=1得f(x)=x-
1
x
,所以a
n+1
=f(a
n
)+2-a
n
=2-
1
a
n
∴a
n+1
-1=
a
n
-1
a
n
,∴
1
a
n+1
-1
=
1
a
n
-1
+1
∴{
1
a
n
-1
}是等差数列,首项为
1
a
1
-1
=1
,公差为1,
∴
1
a
n
-1
=n,∴
a
n
=
n+1
n
∴a
1
•a
2
•…a
n
=
2
1
•
3
2
•…•
n+1
n
=n+1.
举一反三
已知f(x)=log
4
(4
x
+1)+kx(k∈R)是偶函数.
(1)求k的值;
(2)判断方程f(x)=
1
2
x+b的零点的个数.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知y=f(x-1)是偶函数,则函数f(x)图象的对称轴是( )
A.x=1
B.x=-1
C.x=0.5
D.x=-0.5
题型:单选题
难度:一般
|
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已知函数
f(x)=x-2a
x
在(0,1)上为减函数.
(1)讨论f(x)的单调性(指出单调区间);
(2)当a>0时,如果f(x)在(0,1)上为减函数,g(x)=x
2
-2alnx在(1,2)上是增函数,求实数a的值;
(3)当a=2时,若
g(x)≥2bx-
1
x
2
在x∈(0,1]
内恒成立,求b的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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设实数a≥1,使得不等式x|x-a|+
3
2
≥a
,对任意的实数x∈[1,2]恒成立,则满足条件的实数a的范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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设0<a<1,函数
f(x)=lo
g
a
x+1
x-1
.
(1)求函数f(x)定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性,并证明;
(3)当f(x)>0时,求x的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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