已知函数f(x)=lg1-x1+x．（1）求函数f（x）的定义域D；（2）判断函数的奇偶性；（3）若a、b∈D，求证：f(a)+f(b)=f(a+b1+ab)．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=lg

1-x

1+x

．
（1）求函数f（x）的定义域D；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）若a、b∈D，求证：f(a)+f(b)=f(

a+b

1+ab

)．

答案

（1）由题意得：

1-x

1+x

＞0，∴-1＜x＜1，∴函数的定义域为：（-1，1）；
（2）定义域关于原点对称，f（-x）=lg

1+x

1-x

=-lg

1-x

1+x

=-f（x），∴函数是奇函数；
（3）若a、b∈D，f（a）+f（b）=lg

1-a

1+a

+lg

1-b

1+b

=lg

1-a-b+ab

1+a+b+ab

，
f（

a+b

1+ab

）=lg

1- a+b 1+ab

1+ a+b 1+ab

=lg

1+ab-a-b

1+ab+a+b

，∴f（a）+f（b）=f（

a+b

1+ab

）．